Hallo, ich habe folgende Metrik auf \( X=\mathbb{R}^{2} \) mit der eukld. Norm \( \| \cdot| \) gegeben:
\( d: X \times X \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\|x-y\| & \text {,falls ein } a \in \mathbb{R} \text{ existiert, sodass: } x=a y \text { oder } y=a x \\ \|x\|+\|y\| & \text {,sonst }\end{array}\right. \)
Ich soll die dazugehörigen, offenen Kugeln \( B_{r}(x)=\left\{x \in R^{2} \mid d\left(x_{0}, x\right)<r\right\} \) für \( \mathrm{r}=1, x_{0}=(0,0) \) und \( (1,0) \) skizzieren
Problem/Ansatz:
Ich habe 2 Probleme:
1. Wie mache ich das mit der Fallunterscheidung? Kann ich da vorher einfach sagen 1. Fall so und so und der \( 2 . \) Fall halt in den übrigen Fällen, oder muss ich da noch irgendwas beachten?
2. Ich habe ja z.B. \( x_{0}=(0,0) \) gegeben, d.h. ich müsste den Ausdruck \( d((0,0),(x, y)=1) \) nach y umstellen, um da an den Term für die Kugel zu kommen, aber wie soll ich denn das Paar (x,y) in meinen oberen Ausdruck einsetzen? Hier hab ich ja ein Vekor und oben stehen ja einfach nur die Variablen. Ich bin da gerade ein wenig überfragt, könnte mir hier ggf. jemand weiterhelfen?
LG Hakn