Offene Kugel einer Metrik mit Fallunterscheidung skizzieren.

Erste Frage Aufrufe: 74     Aktiv: 18.04.2022 um 10:29

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Hallo, ich habe folgende Metrik auf \( X=\mathbb{R}^{2} \) mit der eukld. Norm \( \| \cdot| \) gegeben:
\( d: X \times X \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\|x-y\| & \text {,falls ein } a \in \mathbb{R} \text{ existiert, sodass: } x=a y \text { oder } y=a x \\ \|x\|+\|y\| & \text {,sonst }\end{array}\right. \)
Ich soll die dazugehörigen, offenen Kugeln \( B_{r}(x)=\left\{x \in R^{2} \mid d\left(x_{0}, x\right)<r\right\} \) für \( \mathrm{r}=1, x_{0}=(0,0) \) und \( (1,0) \) skizzieren
Problem/Ansatz:
Ich habe 2 Probleme:
1. Wie mache ich das mit der Fallunterscheidung? Kann ich da vorher einfach sagen 1. Fall so und so und der \( 2 . \) Fall halt in den übrigen Fällen, oder muss ich da noch irgendwas beachten?
2. Ich habe ja z.B. \( x_{0}=(0,0) \) gegeben, d.h. ich müsste den Ausdruck \( d((0,0),(x, y)=1) \) nach y umstellen, um da an den Term für die Kugel zu kommen, aber wie soll ich denn das Paar (x,y) in meinen oberen Ausdruck einsetzen? Hier hab ich ja ein Vekor und oben stehen ja einfach nur die Variablen. Ich bin da gerade ein wenig überfragt, könnte mir hier ggf. jemand weiterhelfen?
LG Hakn
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1) Ja, du hast hier 2. Fälle, du musst hier nur beachten,  dass deine beiden Fälle die Gesamtheit abdecken, das sollte hier aber kein Problem sein, da die Fälle hier von der abschnittsweisen Definition der Metrik induziert werden. 2) Die Frage verstehe ich nicht so ganz, die Metrik \(d\) misst den Abstand zwischen zwei Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) und du sollst nun die Kugeln um zwei Vektoren bezüglich \(d\) bestimmen.
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Vielen lieben Dank für deine Antwort zu dieser frühen Uhrzeit. Vereinfacht ausgedrückt möchte ich bei 2) wissen, wie ich an die "Form" der Kugel herankomme. I mean, die können ja alle unterschiedlich aussehen. Wie erhalte ich also einen (oder mehrere) Term(e), damit ich an die Form dieser Kugel skizzieren kann?
LG Hakn
  ─   hakn 18.04.2022 um 10:05

Okay, das machen wir mit der Fallunterscheidung. Lass uns \(x_0=(0,0)\) lösen. Wir suchen nun alle \(x\in \mathbb{R}^2\) mit \(d(x_0,x)<1\). Für alle \(x \in \mathbb{R}^2\) gilt \(0\cdot x=x_0\), es ist also \(d(x_0,x)=||x-x_0||=||x||\) und die Kugel ist "normale" Einheitskreis. Für \(x_0=(1,0)\) brauchst du nun den Fall, dass \(x\) und \(y\) Vilefache sind oder nicht um \(d(x_0,x)\) zu bestimmen   ─   mathejean 18.04.2022 um 10:11

Vielen Dank, das hat mit weitergeholfen :D   ─   hakn 18.04.2022 um 10:29

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