Nach dem Aufleiten setzt du ja deine obere Grenze, die ja gerade \( a \) ist für das \( x \) in die gebildete Stammfunktion ein.

Deine Stammfunktion laut Lösung lautet ja \( (-\frac{1}{3}ax^3 + \frac{1}{2}a^2x^2) \). Setzt du nun für x das a ein, von deiner oberen Grenze und wendest die Potenzgesetze an, dann bekommst du

\( -\frac{1}{3}aa^3 + \frac{1}{2}a^2a^2 = -\frac{1}{3}a^4 + \frac{1}{2}a^4 = \frac{1}{6}a^4 \)

Wenn du die untere Grenze 0 einsetzt, kommt dort 0 raus, deshalb ist die Lösung deiner Integration wie oben beschrieben.

Mir ist nicht so ganz klar, wo da Fragen offen bleiben. Du musst das Integral ausrechnen. Dafür brauchst du die Stammfunktion. Um diese zu bestimmen, musst du den Funktionsterm zuerst ausmultiplizieren `f_a(x) = -ax^2 + a^2x`. Eine Stammfunktion davon ist `F_a(x) = -1/3 a x^3 + 1/2 a^2 x^2`, das Integral also
`int_0^2 f_a(x) dx = [-1/3 a x^3 + 1/2 a^2 x^2]_0^a = (-1/3 a * a^3 + 1/2 a^2 * a^2)- (-1/3 a * 0^3 + a^2 *0) = 1/6 a^4`