|t| besteht ja aus den folgenden beiden Definitionszweigen:

• |t| = t für \(t\ge 0\)
• |t| = -t für \(t< 0\)

Mit t=x-3/2 folgt

• |x-3/2| = x-3/2 für \(x-3/2\ge 0\), also für \(x\ge 3/2\)
• |x-3/2| = -(x-3/2)=3/2-x für \(x-3/2< 0\), also für \(x< 3/2\)

Jetzt muss man gucken, ob an der Übergangsstelle (hier: \(x=3/2\)) die Funktion springt.
Dazu setze ich \(x=3/2\) in den oberen und in den unteren Zweig ein und erhalte beide Male 0.
Die Funktionswerte stimmen also überein.
Würden sie nicht übereinstimmen, hätte man eine Unstetigkeitsstelle, und die Ableitung wäre nicht definiert.

Dann muss man beide Definitionszweige ableiten:

• |x-3/2|' = 1 wenn man x auf \(x\ge 3/2\) einschränkt
• |x-3/2|' = -1 wenn man x auf \(x<3/2\) einschränkt

Und nun muss man gucken, ob die Ableitung an der Übergangsstelle springt.
Dazu setze ich x=3/2 in den oberen und in den unteren Zweig der Ableitung ein und erhalte einmal 1, einmal -1.
Die Zweige stimmen also NICHT überein. In diesem Falle hat einen Knick. Drum ist die Ableitung an der Übergangsstelle nicht definiert.

Zusammengefasst:
|x-3/2|' = -1 für x<3/2
|x-3/2|' = +1 für x>3/2
|x-3/2|' undefiniert für x=3/2

Ableiten geht da, wo die Funktion differenzierbar ist. Also nicht in $x=1.5$. Auf den Bereichen $(-\infty, 1.5)$ und $(1.5, \infty)$ jeweils aber problemlos. Löse dazu auf diesen Bereichen die Beträge auf (Def. Betrag anwenden).

Du schreibst den term um von $|x-\frac{3}{2}|$ in $\sqrt{(x-\frac{3}{2}})^2$ und wendest dann die Kettenregel an, um abzuleiten.
Manche kennen die Ableitung der Wurzelfunktion auswendig, und zwar für $f(x)$ = $\sqrt{x}$, ist die Ableitung$f'(x)$ = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Oder du schreibst den Term um $\sqrt{x}$ = $x^\frac{1}{2}$ und dann ableiten.