Grenzwerte bestimmen mit l'Hospital

Aufrufe: 445     Aktiv: 01.02.2022 um 00:35

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Ich muss hier Grenzwerte bestimmen und glaube, l'Hospital anwenden zu müssen. Bei der (a) habe ich \(  \infty  \) raus (ich hoffe mal, dass ich l'Hospital richtig verstanden habe und das Ergebnis richtig ist).
Bei der (b) allerdings komme ich auch durch das Hintereinander-Anwenden von l'Hospital nicht zur Lösung, da die Gleichungen (bzw. Ableitungen) nur länger werden würden.
Was dabei generell stört, ist, dass \(  \sin  \frac{1}{x}  \) und \(  \cos  \frac{1}{x}  \) keine Grenzwerte haben. Ich hoffe, jemand kann mir helfen :)





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Student, Punkte: 42

 
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Das Ergebnis bei der ersten Aufgabe stimmt. Beim zweiten kann man den Bruch geschickt in ein Produkt zerlegen, so dass man unter anderem den Faktor $\frac{x}{\sin(x)}$ hat, dessen Grenzwert man entweder kennt oder sonst leicht berechnen kann.
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Danke erstmal für deine Antwort. Den Grenzwert von \( \frac{x}{ \sin x} \) kannte ich zwar nicht, aber durch l'Hospital kommt man da ja schnell auf 1. Und mit dem Übrigen \( x \cdot \sin \frac{1}{x} \) kann ich sagen, dass \( x \) gegen \( 0 \) geht und \( \sin \frac{1}{x} \) sich zwischen -1 und 1 bewegt, wodurch \( x \cdot \sin \frac{1}{x} \) insgesamt gegen \( 0 \) geht. Und letzendlich der Limes dann \( 1 \cdot 0=0 \) ist?   ─   gfedbca 31.01.2022 um 22:58

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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Die erste Aufgabe hast du richtig gelöst. Du könntest, um es besser nachvollziehen zu können, bevor du die Grenzwertregel von l'Hospital anwedenst noch ergänzen:
\(\lim_{x \to \infty}(ln(x)-ln(\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)})=\)
\(\lim_{x \to \infty}ln(x)-\lim_{x \to \infty}ln(\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)})=\)
\(\lim_{x \to \infty}ln(x)-ln(\lim_{x \to \infty}\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)})\)

Bei der zweiten Aufgabe könntest du zunächst mal nur \(\frac{x^2}{sin(x)}\) betrachten.
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