Gleichung lösen

Aufrufe: 1046     Aktiv: 04.03.2021 um 22:23

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Wie löse ich diese Gleichung nach x auf?

cos(1/2x)=0


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Schüler, Punkte: 116

 
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Vielleicht kennst du ja sogar die Nullstellen vom Kosinus, ansonsten kannst du hier den \(\arccos\) benutzen, vielleicht kennst du ihn auch als \(\cos^{-1}\). Denke aber an die Periodizität!
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Student, Punkte: 10.87K

 

Also ich habe es mit dem arccos versucht, aber ich kam nur bis dahin:
1/2x=? Wenn ich das arccos auf die null Seite bringe, was bekomme ich dann raus?
  ─   math1234 04.03.2021 um 19:25

Es gilt \(\cos \frac 1 2 x =0\Rightarrow \frac 1 2 x=\arccos 0 \Rightarrow x =2\cdot \arccos 0\)   ─   mathejean 04.03.2021 um 19:29

Also ist nur pi die Antwort?
Ich dachte, dass es hierbei mehrere Lösungen gäbe, oder liege ich da falsch?
  ─   math1234 04.03.2021 um 19:31

Nein, du musst die Periodizität beachten. Ist \(x\) eine Lösung so sind alle Lösungen geben durch \(x_k=x+k\cdot p\). Was ist den die Periodizität \(p\) vom Kosinus?   ─   mathejean 04.03.2021 um 19:35

2pi,
Also
x=x+2pi*k ?
Wie soll ich es dann auflösen?
Dadurch, dass ich die periodizität herausbekommen habe, ist die zweite Nullstelle also 2pi, oder?
  ─   math1234 04.03.2021 um 19:40

Ersteinmal hast du ja bereits eine Lösung \(x=2\cdot \arccos0=2\cdot \frac{\pi}2=\pi\) herausgefunden. Die Nullstellen der Kosinusfunktion haben jeweils einen Abstand von \(\pi\), sodass du als Lösung der Gleichung \(x_k=\pi+k\cdot \pi=(1+k)\cdot \pi \Leftrightarrow x_{k-1}={k\cdot\pi}\). Setze nun \(n:=k-1\), dann gilt \(x_n=n\cdot \pi\). Also sind alle Vielfachen von \(\pi\) eine Lösung der Gleichung   ─   mathejean 04.03.2021 um 21:27

Ah, jetzt hab ich es verstanden, danke :))))   ─   math1234 04.03.2021 um 22:23

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