Differentialgleichung mit Fundamentalsystem

Aufrufe: 1058     Aktiv: 22.06.2019 um 18:37
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Hallo Zusammen

Könnt Ihr mir vielleicht beim Lösen dieser Aufgabe helfen? Ich habe keine Ahnung, wie ich es angehen soll. Bei der Aufgabe steht noch zusätzlich "Fundamentalsystem". Ich weiss nicht genau, was ein Fundamentalsystem ist, ich kann jedoch DGL erster Ordnung mit einer Konstanten lösen.

Zu der Aufgabe steht noch zusätzlich, dass es sich eigentlich um eine DGL erster Ordnung handelt für \(y'\)

\(y''(x)-\frac{x+2}{x+1}y'(x)=0für(x>-1)\) 

Vielen Dank schon mal im Voraus

Grüsse froh_do

Nachtrag: Irgendwie hat es nicht geklappt mit dem Mathjax. Nehme gerne Eure Tipps diesbezüglich. Die Formel:

y'' (x) - (x+2)/(x+1) * y'(x) = 0

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Punkte: 7

 
https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsystem_(Mathematik)#Homogene_lineare_Differentialgleichung_h%C3%B6herer_Ordnung   ─   einmalmathe 21.06.2019 um 20:27
\(y''(x)-\frac{x+2}{x+1}y'(x)=0(x > -1)\)   ─   1+2=3 21.06.2019 um 20:29
du musst die Leerzeichen in deinem Code entfernen :)   ─   1+2=3 21.06.2019 um 20:29
Hallo einmalmathe
Habe die Wikipediaseite schon angeschaut und versucht zu verstehen. Leider habe ich bei diesem Thema noch stark Mühe mit dem mathematischen Formalismus. Eine hoffentlich einfach Erklärung am Beispiel meiner Aufgabe würde mir mehr bringen.   ─   froh_do 21.06.2019 um 20:31

hey 1+2=3Verstehe das nicht so ganz. Habe die Leerzeichen entfernt und es funktioniert trotzdem noch nicht: \(y''(x)-\frac{x+2}{x+1}y'(x)=0 für (x >-1)\) Jedenfalls nicht im Text, wo ich die Frage gestellt habe
  ─   froh_do 21.06.2019 um 20:50
da steht noch ein Leerzeichen vor dem \(y'\) im Text... vielleicht liegt es daran   ─   1+2=3 21.06.2019 um 20:58
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1 Antwort
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Hallo,

eine DGL besitzt wenn sie eine Lösung hat unendlich viele Lösungen. Erst durch setzen der Randbedingungen erhalten wir eine eindeutige Lösung. 
All unsere Lösungen spannen einen Vektorraum auf und unser Fundamentalsystem ist die Basis dieses Vektorraums.

Das bedeutet das wir eine Lösungsbasis aufstellen, aus der wir alle anderen Lösungen erzeugen können. Das ist dann unser Fundamentalsystem. 

Nun löse am besten erstmal deine Differentialgleichung dann stellen wir zusammen das Fundamentalsystem auf.

\( y''(x) - \frac {x+2} {x+1} y'(x) =0 \)

Wir haben hier eine DGL der Funktion \( y'(x) \). Um dir das ganze anschaulicher zu gestalten kannst du mal \( y'(x) = u(x) \) substituieren. 

Bekommst du die DGL gelöst?

Grüße Christian

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Hallo Christian
Ja, ich habe gestern nach langer Rechnerei dies noch geschafft, wobei es nicht ganz einfach gewesen ist. Ich habe für die allgemeine Lösung folgendes erhalten:
\(y(x)=c_{1}*xe^x+c_{2}\)
  ─   froh_do 22.06.2019 um 16:38
Sehr gut :)
Nun kannst du dir diese Lösung als Linearkombination von unseren 2 Basisvektoren ansehen.
\( c_1 \cdot xe^x + c_2 = c_1 \cdot xe^x + c_2 \cdot 1 \)
Wir erhalten also die Basisvektoren
\( \{xe^x , 1 \} \)
Dies ist nun unser Fundamentalsystem

Grüße Christian   ─   christian_strack 22.06.2019 um 17:47
Ah, das ist dann "schon" alles gewesen? :D
Vielen Dank für deine Hilfe Christian!   ─   froh_do 22.06.2019 um 18:07
Jap das ist alles :p
Sehr gerne :)
Wenn die Frage für dich geklärt ist schließe sie doch bitte.

Grüße Christian
   ─   christian_strack 22.06.2019 um 18:37

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