Wenn die Determinante 0 ist, bedeutet das, dass die lineare Abbildung auf einen Unterraum von kleinerer Dimension abbildet, zum Beispiel alle Vektoren aus \(\mathbb R^3\) auf eine Ebene abbildet. Dann ist das Volumen des Spats, der von drei linear unabhängigen Vektoren erzeugt wird, eine Teilmenge einer zweidimensionalen Ebene und dabit 0.

Die Determinante gibt nicht an, "wie sich der Raum, den ein Vektor einnimmt, vervielfacht, falls man diesen mit der Determinante multipliziert". Ein nimmt überhaupt keinen Raum ein. Und man multipliziert nicht Vektoren mit Determinanten, sondern wendet eine lineare Abbildung auf einen Vektor an, und diese Abbildung hat eine Determinante.

Wenn \(\det A=0\), dann bedeutet das, wie gesagt, dass nur auf einen echten Untervektorraum abgebildet wird. Dann ist die Funktion aber weder surjektiv (alle Vektoren außerhalb dieses Untervektorraums werden nicht getroffen) noch injektiv ist, also auch nicht bijektiv und die Funktion ist nicht umkehrbar.