Hallo
Du bist auf dem richtigen Weg, sehr gut. Wie du geschrieben hast solltest du bei deinem Schritt $4.$ noch $(n+1)^2$ ausklammern, dann kannst du noch einfache Umformungen machen (z.b. einen quadratischen Term faktorisieren) und dann bekommst du gernau das was du gesucht hast. Ich glaube das bringst du hin, und wenn nicht einfach nachfragen.
Was mich ein wenig verwirrt ist wiso du beim Schritt $2.$ z.z. (zu zeigen) hingeschrieben hast, denn das was im Schritt $3.-5.$ folgt ist ja nicht das was du zeigen möchtest, sondern das ist ja der effektive Beweis. zusätzlich hast du auch nicht wirklich gleichheitszeichen im Beweis geschrieben, also die Verbindungen der einzelnen Punkte $1.-5.$ sind nicht wirklich klar. Aber ich bin mir einfach eine andere Darstellung gewohnt und darum sehe ich vielleicht den Sinn dahinter nicht ganz.

Du bist fast fertig. Prinzip des Ausklammerns: $a\cdot b+ c\cdot b=(a+c)\cdot b$. Wende das hier an, klammere soviel aus wie möglich.