Für Familien linear unabhängiger Vektoren gilt folgendes

Aufrufe: 598     Aktiv: 27.06.2021 um 12:27
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Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum (Ji)i ∈ ℕ eine Familie von Indexmengen mit Ji ⊂ Ji+1 für alle i ∈ ℕ. Weiterhin sei J = ∪i ∈ ℕ Ji und B = (bj )j ∈ J eine Familie von Vektoren aus V. Zeigen Sie:

Ist für alle i ∈ ℕ die Familie Bi = (bj)j ∈ Ji eine Familie linear unabhängiger Vektoren, so ist auch B eine Familie linear unabhängiger Vektoren.

 
Mein Ansatz:

Sei M⊆B endlich.
 
Sei i∈  ℕ  mit M⊆Bi.
 
Sei αm∈K für jedes m∈M, so dass
∑m∈M αm⋅m=0 ist.
 
Dann ist αm=0 für jedes m∈M, weil Bi linear unabhängig ist.
 
 
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Dein Ansatz ist gut, nur formal muss das noch ein bisschen besser werden.  Du möchtest lineare Unabhängigkeit zeigen, d.h. beginne mit einer Linearkombination $\sum_{j\in M}\alpha_jb_j=0$ mit $M\subseteq J$ endlich. Danach kannst du $J_i$ finden, sodass $M\subseteq J_i$, hier solltest du noch etwas genauer begründen, warum es so ein $i$ gibt. Und daraus hast du dann richtig gefolgert, dass $\alpha_j=0$ für alle $j\in M$, also die lineare Unabhängigkeit.
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Hey stal, danke für deine Hilfe, das formale fällt mir noch schwer, das muss ich noch üben. Auch fällt es mir schwer zu begründen warum es so ein i gibt. Könntest du vielleicht mal schreiben wie du das formal richtig aufschreiben würdest?   ─   user4e3d2f 27.06.2021 um 11:53
Für jedes $j\in M$ gibt es ein $i_j$, sodass $j\in J_{i_j}$. Wähle $i=\max\{i_j\mid j\in M\}$, dann gilt für alle $j\in M$, dass $j\in J_{i_j}\subseteq J_i$, also $j\in J_i$.   ─   stal 27.06.2021 um 11:57
Es wäre also okay wenn ich das formal so aufschreiben würde?

Sei ∑j ∈ M aj bj = 0 mit M ⊆ J endlich. Für jedes j ∈ M gibt es nun ein ij , sodass j ∈ Jij.  Wir wählen nun

i = max{ij |j ∈ M}, dann gilt für alle j ∈ M, dass j ∈ Jij ⊆Ji also j ∈ Ji . Wir können nun folgern, dass aj = 0 fur alle 

j ∈ M. Daraus folgt die lineare Unabhängigkeit.

Danke nochmals für deine Hilfe.
   ─   user4e3d2f 27.06.2021 um 12:17
An "Wir können nun folgern, dass $a_j=0$ für alle $j\in M$" würde ich noch anfügen: ", weil $B_i$ nach Voraussetzung linear unabhängig ist". Ansonsten hört es sich gut an.   ─   stal 27.06.2021 um 12:27

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