Lineare hülle von einem Polynom 4ten Grades

Aufrufe: 39     Aktiv: 30.04.2021 um 17:52

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Hallo!

Ich soll eine lineare hülle von 

a) \( 1+x^2,1-x^2 \)
b) \(1,(1+x)^2,(1+x)^3,(1+x)^4 \)

Diesen 2 Polynome bestimmen. Es ist ein Vektorraum P4 aller polynome von grad <= 4

Also die Lineare hülle bestimmt man in dem man alle linear kombinationen von v1,v2...vn findet.Wobei das  gamma aus den reelen zahlen kommt.Also habe ich so gerechnet

\( \gamma_1(1+x^2) + \gamma_2(1-x^2) \) 

Wenn man das jetzt ausmultipliziert und dann zusammenfast bekommt man das

\( (\gamma_1 + \gamma_2)(\gamma_1 - \gamma_2)x^2 \) Und wenn man jetzt das als eine summe schreibt dan sieht das so aus.

 \(  \sum_{n=1}^{4} (\gamma_1 + \gamma_2)(\gamma_1 - \gamma_2)x^2 \) Die summe geht bis zum da es sich um Polynome vierten grades handelt.

bei b) habe ich mehr oder weniger das selbe gemacht,also alles zuerst die v1..v4 mit gamma 1..4 ausmultipliziert

\( \gamma_1 * 1 + \gamma_2(1+x)^2+\gamma_3(1+x)^3 +\gamma_4(1+x)^4 \) 

Jetzt muss man halt die formeln für hoch 2 hoch 3 hoch 4 anwenden,bzw. faktorisieren.Ich habe das so gemacht(hoffentlich richtig) und dann halt die terme ein bissl zusammengefast.Dann sieht das so aus


\( (\gamma_1 + \gamma_2+\gamma_3 + \gamma_4) +(  2\gamma_2+3\gamma_3 + \gamma_4)x+( \gamma_2+3\gamma_3 + 6\gamma_4)x^2+(\gamma_3 + 4\gamma_4)x^3 + \gamma_4x^4 \)

Also meine frage ist jetzt ob ich das so machen darf? Ich habe noch nie hüllen von polynome gerechnet,immer mit matrizen oder vektoren.Ich weiss nicht ob ich das so machen darf,irgendwie ist mir das zu kommisch.Soll ich ja die polynome in vektorschreibeweise "umformen" und dann weiter machen?Falls ja wie?


Danke !
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