Hallo,

die Delta Distribution pickt sich bestimmte Werte unserer Funktion heraus und zwar genau diese Werte, die \( \delta (0) \) erzeugen. 

Gucken wir uns mal die erste an

$$ \int_1^{\infty} \mathrm{d}x \sin(x) \delta (\frac {\pi^2 -x^2} 4) $$

Wir nehmen uns erstmal die Distribution vor. Laut deinem Tipp gilt, 

$$ \delta (g(x)) = \sum^N \frac {\delta(x-x_i)} {\vert g'(x_i) \vert} $$

Bei unserer Distribution gilt, 

$$ g(x) = \frac {\pi^2 - x^2} 4 $$

Nun bestimmen wir Nullstellen und Ableitung. Nullstellen finden wir bei \( \pm \pi \). Die Ableitung ergibt sich zu

$$ g'(x) = - \frac x 2 $$

Also ergibt sich unser Integral zu

$$ \int_1^{\infty} \mathrm{d}x \sin(x) \frac {2\delta(x- \pi)} {\pi} + \int_1^{\infty} \mathrm{d}x \sin(x) \frac {2\delta(x+ \pi)} {\pi} $$

Nun können wir jedes dieser Integral einzelnd betrachten. 

Die Nullstelle der Distribution des ersten Integrals ist \( \pi \). Diese liegt zwischen \( 1 \) und \( \infty \), also gilt

$$ \int_1^{\infty} \mathrm{d}x \sin(x) \frac {2\delta(x- \pi)} {\pi} \\ = \frac 2 {\pi}   \int_1^{\infty} \mathrm{d}x \sin(x) \delta(x- \pi) \\ = \frac 2 {\pi} \sin(\pi) \\ = 0 $$

Die Nullstelle der Distribution des zweiten Integrals liegt nicht im Integrationsbereich, also ergibt sich das Integral sofort zu Null. 

Das Ergebnis ist also 

$$ 0 + 0 = 0 $$

Grüße Christian