Injektivität

Aufrufe: 137     Aktiv: 30.10.2022 um 13:08

0

Hallo,

ich muss zeigen, dass aus gof injektiv nicht zwangsläufig g injektiv folgt.
Zur Bestätigung dieser Vermutung seien zwei Funktionen: f(x)=arctan(x) und g(x)=sin(x).

Zu zeigen:
1) gof Injektiv
2) g nicht injektiv

Zur 2): Kein Problem für mich.
Zur 1): Ich gehe davon aus, dass ich zeigen muss, dass bei dieser Gleichung
sin(arctan(x1))=sin(arctan(x2))
Dass x1=x2 gilt, weiß jedoch weder wie ich diese Gleichung nach x lösen kann, noch ob dieser Ansatz der richtige ist.

Vielen Dank!

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 9

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Schau dir den Wertebereich von $\arctan$ an und zeige, dass der $\sin$ auf diesem Bereich injektiv ist.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 26.5K

 

Danke, wie mache ich das?😂
Ich weiß wie man Injektivität generell, z.B. bei einer Funktion h(x)=x^2, zeigt.
Aber beim Sinus weiß ich nicht, wie das geht, insbesondere nicht unter unter Berücksichtigung der Wertemenge vom Arctan.
HG Nico
  ─   user998922 30.10.2022 um 00:25

1
Warum ist der $\sin$ auf ganz $\mathbb{R}$ denn nicht injektiv?   ─   cauchy 30.10.2022 um 00:28

Der Wertebereich vom Arctan liegt aber doch nur in [-pi/2 | pi/2] und nicht in ganz R, oder?   ─   user998922 30.10.2022 um 11:51

1
Ja, und daher braucht man die Injektivität von $\sin$ nur auf diesem Bildbereich zu prüfen.   ─   mikn 30.10.2022 um 11:57

Genau, das dachte ich auch. Wie kann ich eine Funktion auf Injektivität in nur einem bestimmten Bereich überprüfen?   ─   user998922 30.10.2022 um 12:09

1
Du hast gesagt, dass du Teil 2 kannst. Also kannst du zeigen, dass der $\sin$ auf ganz $\mathbb{R}$ nicht injektiv ist. Warum nicht? Was ändert sich, wenn man den Definitionsbereich einschränkt?   ─   cauchy 30.10.2022 um 12:11

1
Kann man leicht auch graphisch machen.   ─   mikn 30.10.2022 um 12:15

Ich denke, weils eine periodische Funktion ist, trifft der Sinus die Funktionswerte zwischen [-1;1] unbegrenzt oft. Damit gibt es unendlich viele x-Werte die auf einen festen, aber beliebigen Funktionswert abbilden.
Wenn der Definitionsbereich eingeschränkt ist auf das o.g. Intervall, ist der Sinus injektiv, wenn ich mir das veranschauliche. Aber ich weiß nicht, wie ich das "formal" und in math. Sprache beweise kann...
  ─   user998922 30.10.2022 um 12:18

1
Mir würde als Lösung reichen, wenn man das bereits gesagte nochmal sauber formuliert (Stichworte Bildmenge von $\arctan$, Umkehrbarkeit von $\sin$ auf eingeschränktem Bereich). Zu rechnen/auflösen ist hier nichts.   ─   mikn 30.10.2022 um 12:58

Vielen Dank! Das macht es mir um einiges leichter... :D   ─   user998922 30.10.2022 um 13:08

Kommentar schreiben