Seperation der Variablen DGL

Aufrufe: 691     Aktiv: 12.12.2021 um 22:02

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Hey,
Gegeben ist das Anfangswertproblem: $\begin{cases}y'(t) = 1\cdot h(y(t)) \ (t \in \mathbb{R})\\y(0) = y_0\\\end{cases}$ 
Dabei ist $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ stetig und es gilt $\frac{h(z)}{z} \geq c $ für alle $z \in \mathbb{R}$\{0} und $y_0 > 0$
Zeigen soll ich, dass $y(t) \geq y_0e^{ct} \ \ \ \  \forall t \in (0, \infty) $

Mein grober und einziger Ansatz ist es, die Stammfunktion $G$ von $g(t) = 1$, also $G(t) = t + C$ zu bilden und die Stammfunktion $H$ von  $\frac{1}{h}$, also $\int \frac{1}{h(y(t))}dt$, weil ich dann die Lösung $y(t) = H^{-1}((G(t)) = H^{-1}(t+C)$ hätte. Und da dann hoffentlich irgendwie die Vorraussetzungen einfließen lassen um die Abschätzung zu zeigen. Kann mir jemand helfen dabei? Wie berechne ich das Integral $\int \frac{1}{h(y(t))}dt$ , und wäre der Ansatz überhaupt richtig? Aber ein anderen fällt mir echt nicht ein. Im Vorraus schonmal Danke und einen schönen Nikolaus an jeden, der bis hierhin gelesen hat.

EDIT vom 06.12.2021 um 22:28:

Frage eingefügt.

EDIT vom 12.12.2021 um 18:11:


da Interesse besteht ist hier die offizielle Lösung.
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Dividiere die Dgl durch $y(t)$ und löse nach $\ln y(t)$ auf. Rechnerisch führt das zum Ziel, man muss vielleicht noch ein paar Argumente über Vorzeichen usw. einbauen.
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Wie meinst du? Wenn ich durch $y(t)$ dividiere habe ich $$\frac{y'(t)}{y(t)} = \frac{h(y(t))}{y(t)}$$
Mit der Kettenregel sehe ich jetzt, dass $$\frac{d}{dt} log(y(t)) = \frac{y'(t)}{y(t)} = \frac{1}{y(t)}h(y(t))$$.
Aber wenn ich das integriere um nach $log(y(t))$ umzustellen, stehe ich wieder vor dem Problem dass ich $\int \frac{1}{y(t)}h(y(t)) dt$ dastehen habe und ich nicht weiterkomme. Wenn ich das partiell versuche, habe ich irgendwas ewig langes dastehen, was mir irgendwie nichts bringt und vermutlich ist es eh schon falsch, weil ich nicht weiß was $\int \frac{1}{y(t)}dt$ ist? $log(y(t))$ ist es nicht, weil ich ja noch die innere Ableitung habe.
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 15:28

ich habe drausen, dass $$ y(t) = exp \Bigl( \int \frac{f(y(t))}{y(t)}dt\Bigr) \stackrel{\text{??}}{\geq} e^{ct}$$,
also $$ y_0 = y(0) = exp \Bigl( \int \frac{f(y_0)}{y_0}dt\Bigr) \geq exp \Bigl( \int c dt\Bigr) = exp(ct) = e^{ct}$$,
Aber irgendwie fehlt da doch noch ein Puzzlestück, ich bekomm es nicht zusammengesetzt, bei der ersten Abschätzung von $y(t)$ fehlt ja noch irgendwie der Anfangswert.
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 18:07

Vielen Dank für die Hilfe! Ich hab es soweit.
Das wir am Anfang durch $y(t)$ geteilt haben rechtfertigt sich durch die Abschätzung die wir gezeigt haben, also kann $y(t)$ niemals Null sein ?!
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 20:17

Das c kleiner ist als $\frac{h(z)}{z}$ wird wohl nicht die gewünschte Antwort sein. Aber viel weiß ich nicht drüber. Ich müsste dann mehr über h erfahren, da weiß ich aber auch nur, dass es stetig ist, was ich fürs integrieren gebraucht habe.   ─   h1tm4n 06.12.2021 um 20:45

Die Aufgabe steht genauso im Original. Der einzige Unterschied ist, dass ich $1 \cdot h(y(t)) $ geschrieben habe anstatt $h(y(t))$ und dass die Funktion $h$ eigentlich $f$ heißt, was beides darauf zurückzuführen ist, dass ich ja noch mein anderen Ansatz hatte und mir das dann so besser gepasst hat. Sonst ist es genau gleich. Niemals würde ich bei einer Aufgabe irgendetwas weglassen oder abändern oder dazudichten.   ─   h1tm4n 06.12.2021 um 21:44

Nagut, da steht natürlich nicht "zeigen soll ich", sondern "Zeigen Sie, dass $y(t) \geq y_0e^{ct} \ \forall t \in (0, \infty)$"
Nach $y_0 > 0 $ kommt ein neuer Satz mit "Zeigen Sie, dass..."
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 21:55

Sowas steht nicht da.
Eine Lipschitzbedingung sehe ich auch nicht.
Ich hab Mal ein Foto der Aufgabe hochgeladen, damit nicht der Eindruck entsteht dass irgendwas fehlt.
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 22:26

Weiß auch nicht. Naja ich denke ich lass es einfach so wie es ist, und man wird's ja dann sehen.   ─   h1tm4n 06.12.2021 um 22:36

ich hab die offizielle Lösung hochgeladen.   ─   h1tm4n 12.12.2021 um 18:12

Gerne! Mir ist es nun klar geworden. Danke nochmal für deine Hilfe!   ─   h1tm4n 12.12.2021 um 20:13

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