Seperation der Variablen DGL

Aufrufe: 151     Aktiv: 12.12.2021 um 22:02

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Hey,
Gegeben ist das Anfangswertproblem: $\begin{cases}y'(t) = 1\cdot h(y(t)) \ (t \in \mathbb{R})\\y(0) = y_0\\\end{cases}$ 
Dabei ist $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ stetig und es gilt $\frac{h(z)}{z} \geq c $ für alle $z \in \mathbb{R}$\{0} und $y_0 > 0$
Zeigen soll ich, dass $y(t) \geq y_0e^{ct} \ \ \ \  \forall t \in (0, \infty) $

Mein grober und einziger Ansatz ist es, die Stammfunktion $G$ von $g(t) = 1$, also $G(t) = t + C$ zu bilden und die Stammfunktion $H$ von  $\frac{1}{h}$, also $\int \frac{1}{h(y(t))}dt$, weil ich dann die Lösung $y(t) = H^{-1}((G(t)) = H^{-1}(t+C)$ hätte. Und da dann hoffentlich irgendwie die Vorraussetzungen einfließen lassen um die Abschätzung zu zeigen. Kann mir jemand helfen dabei? Wie berechne ich das Integral $\int \frac{1}{h(y(t))}dt$ , und wäre der Ansatz überhaupt richtig? Aber ein anderen fällt mir echt nicht ein. Im Vorraus schonmal Danke und einen schönen Nikolaus an jeden, der bis hierhin gelesen hat.

EDIT vom 06.12.2021 um 22:28:

Frage eingefügt.

EDIT vom 12.12.2021 um 18:11:


da Interesse besteht ist hier die offizielle Lösung.
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Dividiere die Dgl durch $y(t)$ und löse nach $\ln y(t)$ auf. Rechnerisch führt das zum Ziel, man muss vielleicht noch ein paar Argumente über Vorzeichen usw. einbauen.
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Wie meinst du? Wenn ich durch $y(t)$ dividiere habe ich $$\frac{y'(t)}{y(t)} = \frac{h(y(t))}{y(t)}$$
Mit der Kettenregel sehe ich jetzt, dass $$\frac{d}{dt} log(y(t)) = \frac{y'(t)}{y(t)} = \frac{1}{y(t)}h(y(t))$$.
Aber wenn ich das integriere um nach $log(y(t))$ umzustellen, stehe ich wieder vor dem Problem dass ich $\int \frac{1}{y(t)}h(y(t)) dt$ dastehen habe und ich nicht weiterkomme. Wenn ich das partiell versuche, habe ich irgendwas ewig langes dastehen, was mir irgendwie nichts bringt und vermutlich ist es eh schon falsch, weil ich nicht weiß was $\int \frac{1}{y(t)}dt$ ist? $log(y(t))$ ist es nicht, weil ich ja noch die innere Ableitung habe.
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 15:28

Soweit ok. Aber Du willst ja auch nicht y(t) berechnen, sondern nur die Abschätzung zeigen. Und das geht leicht mit der integrierten Gleichung ("integriert" heißt in diesem Fall: "Integralzeichen davorschreiben", nicht ausrechnen (das geht ja nicht, außer auf der linken Seiten natürlich)).   ─   mikn 06.12.2021 um 16:34

ich habe drausen, dass $$ y(t) = exp \Bigl( \int \frac{f(y(t))}{y(t)}dt\Bigr) \stackrel{\text{??}}{\geq} e^{ct}$$,
also $$ y_0 = y(0) = exp \Bigl( \int \frac{f(y_0)}{y_0}dt\Bigr) \geq exp \Bigl( \int c dt\Bigr) = exp(ct) = e^{ct}$$,
Aber irgendwie fehlt da doch noch ein Puzzlestück, ich bekomm es nicht zusammengesetzt, bei der ersten Abschätzung von $y(t)$ fehlt ja noch irgendwie der Anfangswert.
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 18:07

Das passiert, wenn man mit den Variablennamen nicht aufpasst und z.B. die (äußere) Variable t gleichzeitig als Integrationsvariable verwendet.
Nun nochmal, aber geordnet:
$\frac{y'(t)}{y(t)}= \frac{h(y(t))}{y(t)} \Longrightarrow$ beide Seiten von 0 bis t integrieren:
$\ln y(t) - \ln y(0) = \int\limits_0^t \frac{h(y(u))}{y(u)}\, du \ge \int\limits_0^t c\, du$ nach Vor.
Nun einsetzen und dann erst umstellen.
  ─   mikn 06.12.2021 um 18:41

Vielen Dank für die Hilfe! Ich hab es soweit.
Das wir am Anfang durch $y(t)$ geteilt haben rechtfertigt sich durch die Abschätzung die wir gezeigt haben, also kann $y(t)$ niemals Null sein ?!
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 20:17

Erstmal gilt in einer Umgebung von $t=0$, dass $y(t)>0$ ist (Lösung der Dgl ex., $y(0)>0$). Daher darf man dividieren und später auch die Beträge gleich weglassen (beim $\ln$). Wohlgemerkt: Erstmal nur in einer Umgebung von 0. Wissen wir was über $c$?
  ─   mikn 06.12.2021 um 20:23

Das c kleiner ist als $\frac{h(z)}{z}$ wird wohl nicht die gewünschte Antwort sein. Aber viel weiß ich nicht drüber. Ich müsste dann mehr über h erfahren, da weiß ich aber auch nur, dass es stetig ist, was ich fürs integrieren gebraucht habe.   ─   h1tm4n 06.12.2021 um 20:45

Es bleiben erstmal noch offene Fragen: Klar ist, es gibt lokal bei $t=0$ eine Lösung. Offen ist, ob diese auf ganz R definiert ist (muss sie wohl laut Aufgabe, aber warum?) und ob sie eindeutig ist. Eine Lipschitzbedingung sehe ich hier nicht.
Kannst Du mal den Aufgabentext im Original posten? Da fehlt ja irgendwas zu $y$.
  ─   mikn 06.12.2021 um 21:34

Die Aufgabe steht genauso im Original. Der einzige Unterschied ist, dass ich $1 \cdot h(y(t)) $ geschrieben habe anstatt $h(y(t))$ und dass die Funktion $h$ eigentlich $f$ heißt, was beides darauf zurückzuführen ist, dass ich ja noch mein anderen Ansatz hatte und mir das dann so besser gepasst hat. Sonst ist es genau gleich. Niemals würde ich bei einer Aufgabe irgendetwas weglassen oder abändern oder dazudichten.   ─   h1tm4n 06.12.2021 um 21:44

Ich glaube Dir aber nicht, dass da steht "zeigen soll ich". Daher bitte im Original, wie es hinter $y_0>0$ weitergeht. Auch dass Du $1\cdot$ dazudichtest, ist keine gute Idee.   ─   mikn 06.12.2021 um 21:49

Nagut, da steht natürlich nicht "zeigen soll ich", sondern "Zeigen Sie, dass $y(t) \geq y_0e^{ct} \ \forall t \in (0, \infty)$"
Nach $y_0 > 0 $ kommt ein neuer Satz mit "Zeigen Sie, dass..."
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 21:55

Mir fehlt in der Aufgabenstellung so was wie "Zeigen Sie, dass auf R eine (eindeutige?) Lösung y existiert und für diese gilt:...". Woher weiß man nun, dass eine solche Lösung überhaupt existiert, und das auf ganz R?   ─   mikn 06.12.2021 um 22:05

Sowas steht nicht da.
Eine Lipschitzbedingung sehe ich auch nicht.
Ich hab Mal ein Foto der Aufgabe hochgeladen, damit nicht der Eindruck entsteht dass irgendwas fehlt.
  ─   h1tm4n 06.12.2021 um 22:26

Und was hat das ganze mit Separation der Variablen zu tun?
Die Aufgabe ist jedenfalls merkwürdig formuliert. Man weiß nicht, ob Existenz der Lösung gezeigt werden soll. Oder es sollte der Zwischensatz "Sei y eine (die?) Lösung von (1)" da stehen.
  ─   mikn 06.12.2021 um 22:33

Weiß auch nicht. Naja ich denke ich lass es einfach so wie es ist, und man wird's ja dann sehen.   ─   h1tm4n 06.12.2021 um 22:36

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Ja, ich würde auch keinen weiteren Aufwand reinstecken. Wenn es dazu später ne offizielle Lösung gibt, würde mich die interessieren.   ─   mikn 06.12.2021 um 22:38

ich hab die offizielle Lösung hochgeladen.   ─   h1tm4n 12.12.2021 um 18:12

Ok, danke, dass Du noch dran gedacht hast. Uns fehlte ja noch die Überlegung nach (1007). Ist Dir denn diese fehlende Argument nun klar?
Der Punkt ist, dass (1007) gilt solange $y(t)>0$ ist. Das wussten wir ja schon. Wenn jetzt aber $y(t)$ in endlicher Zeit auf 0 fallen würde (siehe erster Satz der Lösung, Def. von T, also wenn $T<\infty$), dann würde das (1007) widersprechen. Also ist $T=\infty$, also gilt die Beh. für alle $t\in (0,\infty)$.
Durch diese nötige Überlegung wird die ganze Aufgabe schon etwas anspruchsvoll. Dass die Aufgabenstellung ungeschickt formuliert ist, dabei bleibe ich aber.
  ─   mikn 12.12.2021 um 19:50

Gerne! Mir ist es nun klar geworden. Danke nochmal für deine Hilfe!   ─   h1tm4n 12.12.2021 um 20:13

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