Das Problem liegt hier im Definitionsbereich. Gerade/ungerade kann man nur sagen, wenn $f$ auf ganz R definiert ist. Das ist es hier nicht.
Wenn es aber bei der Aufgabe um Fourier-Reihen geht (es hilft uns Helfern sehr, wenn nichts weggelassen wird!), wird üblicherweise periodisch fortgesetzt auf R. Ob gerade/ungerade oder keins davon, sieht man nachdem man eine Skizze der auf R fortgesetzten Funktion erstellt hat (unbedingt machen, spart viel Zeit).
Wenn das gegebene $f$ auf R $2\pi$-periodisch fortgesetzt ist, sieht man auch sofort an der Skizze, dass sie (die Fortsetzung auf R) weder gerade noch ungerade ist.
Es ist auch bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten wichtig zu unterscheiden, ob man von $f$ oder der auf R fortgesetzten Runktion redet. Nur letztere hat eine Fourier-Reihe.

Korrektur: dadurch, dass du keinen negativen Werte einsetzen darfst, kannst du \(f(-t)\) gar nicht ausrechnen!

Wäre sie nicht eingeschränkt, wäre die Funktion ungerade. Wie du sagst, hast du ja die Bedingung richtig geprüft. Du kannst dir zu dem \(t\) noch den Exponenten vorstellen: \(t^1\). Die 1 ist ja ungerade.