Prozentuale Steigerung

Erste Frage Aufrufe: 468     Aktiv: 05.11.2021 um 09:23
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Hallo liebe Gruppe,

meine Schulzeit ist 40+ Jahre her und ich stehe vor einem Problem, welches ich sicher vor 40 Jahren hätte lösen können, nun aber durch die mir verliehene offensichtliche Altersdemenz nicht mehr lösbar ist.

Folgende Aufgabe:
Ich habe 100% und möchte diese in 6 Schritte unterteilen, wobei jeder Schritt 25% mehr sind als der vorherige Schritt.
Plastisch sieht das so aus

1. Schritt 8,88%8,88%
2. Schritt 11,1 %11,10% (Schritt 1 * 1,25)1⋅1,25)
3. Schritt 13,88 %13,88%
4. Schritt 17,35 % 17,35%
5. Schritt  21,68%
6. Schritt 27,11% 27,11%
Ergibt letztlich 100%

Wie sieht die Formel zur Berechnung aus? Denn ich will 10 - 15 Schritte durchplanen 

Vielen Dank

EDIT vom 03.11.2021 um 11:29:

Die Frage bezieht sich vor allem auf den ersten Schritt. 
Während es bei 6 Schritten mit 8,88 % beginnt, wären der erste Schritt bei 8 Schritten 5.04% 

Wie kann ich also den ersten Schritt, den Anfangswert, berechnen, wenn es 11 Schritte (Stufen) sind?
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8,88 * 1,25^n
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Vielen Dank für die Antwort, leider habe ich die Frage unpräzise gestellt.
Mir ging es vor allem um den ersten Schritt, also wie berechne ich die erste Stufe, wenn die Steigerung 32 % ist und es 7 Stufen gibt.

Ich danke Dir vor allem, weil ich jetzt die Frage präzisieren konnte :)
  ─   user9f4c73 03.11.2021 um 11:32

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Hallo,

ich hoffe ich verstehe dich richtig: Du hast einen Endwert oder? Nennen wir diesen mal $p_n$. Und du willst wissen, wie der anfängliche Prozentwert ($p_0$) war, wenn man eine bestimmte Anzahl von Schritten zurückgeht ($n$). In jedem Schritt wird immer ein Viertel drauf gepackt (also $\cdot 1{,}25$).

Wie thewsm schon gesagt hat, kann man bei gegebenen Anfangswert und gegebener Laufzeit den Endwert über 
$$ p_0 \cdot 1{,}25^n = p_n$$
berechnen. Diese Formel lässt sich nun auch umdrehen, damit wir eine Formel für $p_0$ bekommen. Wie erhalten wir eine Gleichung für $p_0$?

Grüße Christian
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Vielen Dank, dass Du Dich meines Problems angenommen hast.
Leider hat es die Formatierung in der Ausgangsfrage zerhauen.
Ich habe als Endwert IMMER 100%. Ich muss also die 100% gleichmäßig gesteigert aufteilen.
Ich versuche mal, ob ich das so, wie Du es brillant beschrieben hast hinbekomme.

Leider gelingt mir das nicht.

Beispiel meiner Rechnung, als Ergebnis soll 100% heraus kommen, also Pn = 100.
Ich habe 3 Schritte, also n = 3
Wenn ich also jeden Wert um 25% erhöhe, wie lautet dann der erste Wert, wenn die Summe aller Werte 100 ergeben wird?
Die Gleichung würde bei mir so aussehen:

Po*1,25^n = 100

Nach Po auflösen:

100/(1,25^3)=Po

Dann wäre der erste Schritt 51,2 % des Gesamtvolumens, der zweite Schritt 64% des Volumens und der dritte Schritt 80% was zusammen allerdings 195% ergibt, statt 100%

Ich nehme ganz stark an, dass ich mich nicht deutlich ausdrücken kann. Das ist mir unangenehm, sorry.

Ich versuche das einfach mal ganz plastisch darzustellen.
Ich habe 100 Buchstabennudeln, die in die Suppen von 12 Kindern verteilt werden soll. Jedes Kind soll allerdings 25% mehr Nudeln bekommen, als das Kind davor.
Wieviel Nudeln bekommt das erste Kind?
   ─   user9f4c73 03.11.2021 um 12:06
Sehr gerne :)
Ah ok, aber das funktioniert mit der Formel. Probiere dich gerne mal und gib bescheid, falls du nicht weiter kommst :)   ─   christian_strack 03.11.2021 um 12:12
Ich komme nicht drauf und so langsam sind meine Enkelkinder auch sehr hungrig, aber erst wenn Opa weiß, wieviel jedes Kind bekommt, wird hier gekocht!   ─   user9f4c73 03.11.2021 um 14:10
Ah ok. Das ändert die Aufgabenstellung :)
Was wir bis jetzt erreicht haben ist aber nicht unnütz. Wir stellen die folgende Bedingung auf. $p_i$ ist der Prozentsatz, denn das $i$-te Kind bekommt. Dann muss
$$ p_1 + p_2 + p_3 = 100\%$$
gelten. Nun ist $p_1$ einfach der Prozentsatz mit dem wir starten (nennen wir ihn einfachheithalber mal $p$, also $p_1=p$). $p_2$ ist nun um $25\%$ größer, das bedeutet wie viel wäre das bezogen auf $p$? Selbe Frage zu $p_2$?
Das kann nun in unsere erste Gleichung eingesetzt und nach $p$ aufgelöst werden. Das ist der gesuchte Prozentsatz.   ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:18
Ich habe die Antwort gefunden. Ich wäre niemals allein darauf gekommen, aber die Lösung lautet:
a*(1,25^n-1) / (1,25 - 1)=100
Es handelt sich um eine, so habe ich es jetzt gelernt, Partialsumme einer geometrischen Reihe.
Ich danke euch allen sehr. Ich bin froh, meine Aufgabe nun lösen zu können.
;)   ─   user9f4c73 04.11.2021 um 18:26
Ja genau :)
und dein $a$ ist dann der gesuchte Prozentsatz. Also noch nach $a$ umstellen und du hast die Gleichung, um für jede Anzahl an Kindern den richtigen Prozentsatz ausrechnen zu können.   ─   christian_strack 05.11.2021 um 09:23

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