Hi Bugra,

wie will man sonst diesen Bruch aufleiten?? Das ist die Logarithmus-Integrationsregel :-)

Erklärung:
Du weißt, dass Integrieren das Gegenteil von Ableiten ist, nicht?
Merk Dir für die Integrationsregeln einfach die zugehörigen Ableitungsregeln!
In diesem Fall: Was ist die Ableitung von \(\ln(x)\)? \(\frac1x\)! Und was von \(\ln(f(x))\)? Da muss man nur mit Hilfe der Kettenregel mit \(f'(x)\) multiplizieren, d.h. \(\frac{f'(x)}{f(x)}\).

Aus diesem Wissen hat man eine Integrationsregel gemacht:
Wenn man einen Bruch hat, wo im Zähler - bis auf einen konstanten Faktor - die Ableitung des Nenners steht, dann ist eine Stammfunktion das, was ich gerade vorgerechnet hab: \(\ln(f(x))\).

Den konstanten Faktor muss man halt so "hin-basteln", wie man ihn braucht: Man "denkt" sich, dass man mit \(1\) multipliziert, und macht aus der \(1\) z.B. in diesem Fall \(\frac{-5}{-5}\).

Hab ich das schön vorgerechnet?
Was ich Dir überlasse (das bekommst Du sicher hin): den Nenner in Deinem Beispiel ableiten :-)

LG

Moin SchindlerBugra.

Die Stammfunktion von \(\dfrac{1}{x}\) ist \(\ln|x|\). Somit kommt man dann mit Substitution auf die Stammfunktion:

sei \(u=16-5x\), dann folgt: \(dx=-\dfrac{1}{5}du\)

\(\rightarrow\displaystyle{\int \dfrac{1}{16-5x}dx=\int-\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{u}du}=-\dfrac{1}{5}\int\dfrac{1}{u}du=-\dfrac{1}{5}\ln|u|+c=-\dfrac{1}{5}\ln|16-5x|+c\)

Du kannst das Ganze natürlich durch Ableiten immer überprüfen!

Grüße