Zu Aufgabe 4:
Sei \(u_1\) die Nutzenfunktion für die Kosten/Jahr, und \(u_2\) die Nutzenfunktion für den Spaß.
Wenn ich das richtig verstanden habe, sollen diese Nutzenfunktionen für den geilsten Wert 1 sein und für den uncoolsten Wert 0.
Also:
\( u_1(2000)=1,\; u_1(5000)=0 \)        (1)
\( u_2(10)=1,\; u_2(0)=0 \)                   (2)
Ferner sollen alle Nutzenfunktion lineare Funktionen sein.
Mit der Punkt-Punkt-Formel für lineare Funktionen erhält man aus (1) und (2):
\(\displaystyle u_1(X_1) = \frac{5}{3} - \frac{X_1}{3000}\)   (3)
\(\displaystyle u_2(X_2) = \frac{X_2}{10}\)                (4)
Die Gesamt-Nutzenfunktion setzt sich dann so zusammen:
\(u(X_1,X_2) = w_1 u_1(X_1) + w_2 u_2(X_2) \)       (5)
wobei die Gewichte \(w_1,w_2\) gesucht sind. Hier (3) und (4) eingesetzt ergibt:
\(\displaystyle u(X_1,X_2) = \frac{5 w_1}{3} - \frac{X_1 w_1}{3000}+ \frac{X_2 w_2}{10} \)       (6)
Und nun kann man verwurtsten, dass 3 Spaßpunkte 1200 € wert sind.
Also: Wenn ich mit dem Spaßpunkten um 3 raufgehe, und die Kosten/Jahr um 1200€ erhöhe, soll sich die Nutzenfunktion nicht ändern.
In Formeln: \( u(X_1,X_2) = u(X_1+1200, X_2+3) \).
Hier (6) einsetzen liefert:\( \displaystyle \frac{5 w_1}{3} - \frac{X_1 w_1}{3000} + \frac{X_2 w_2}{10}\;=\;
   \frac{5 w_1}{3} - \frac{(X_1+1200) w_1}{3000} + \frac{(X_2+3) w_2}{10} \)
Das meiste hebt sich hier weg. Es verbleibt:
\( \displaystyle  0 = - \frac{1200 w_1}{3000} + \frac{3 w_2}{10} \)         
Vereinfacht: \(4 w_1-3 w_2=0\)    (7)
Da hätten wir schonmal die erste Gleichung für die gesuchten \(w_1, w_2\).

Auch für die Gesamt-Nutzenfunktion muss gelten: Sie nimmt für die geilsten Werte den Wert 1 an, und für die uncoolsten den Wert 0. D.h.:
\(u(5000,0) =0\)      (8)
\(u(2000,10)=1\)     (9)
Wie man nachrechnen kann, gilt Gleichung (8) ohnehin. Gl. (8) liefert also keine neue Information.

Kombiniert man man (5) und (9), so erhält man: \(u(2000,10)=w_1 u_1(2000) + w_2 u_2(10) = 1\)
Mit (1) und (2) erhält man: \(w_1 + w_2  = 1\)       (10)
(10) und (7) liefern ein ein lin. Gleichungssystem mit der Lösung \(\displaystyle w_1=\frac{3}{7}, w_2=\frac{4}{7}\).