Eigenwerte Matrix

Aufrufe: 110     Aktiv: 16.04.2021 um 21:24

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Die a) und die b) konnte ich lösen. Jedoch weiß ich nicht wie ich bei der c) vorangehen soll. Ich hab die allgemeine Formel für das charakteristische Polynom mal aufgestellt:
Dennoch weiß ich nicht wie ich weitermachen soll. Hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen, Danke!
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Was ist denn Dein Ergebnis bei a) und bei b)? Bei b) reicht die Dimension des von Dir bestimmten Eigenraums.Das braucht man nämlich für c).
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dimension bei b) ist 3 und a) Determinante = 2   ─   benutzer333 16.04.2021 um 15:53

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Aha (Ergebnis ist richtig) die geom. Vielfachheit des EW 1 ist also 3, seine alg. Vielfachheit könnte theoretisch größer sein, dann 4. Auf jeden Fall fehlt uns nur noch ein EW.
Das char. Polynom lautet damit: \(p(x)=(x-1)^3(x-x_0)\), wobei \(x_0\) der noch unbekannte EW ist. Überleg nun, was \(\det A\) mit dem char. Polynom zu tun hat und berechne daraus leicht (sehr übertrieben!) \(x_0\).
  ─   mikn 16.04.2021 um 16:13

Achso das heißt mein x_0 ist 2, da die Determinante einer Matrix dem Produkt der Eigenwerte der Matrix entspricht! Vielen Dank, könnten Sie vielleicht noch erklären wie sie auf das charakteristische Polynom p(x) gekommen sind?   ─   benutzer333 16.04.2021 um 16:25

Achso, ja, so wie Du es gemacht hast, geht es auch ohne char. Polynom.
Die Nullstellen des char. Polynoms sind ja genau die EW, entsprechend ihrer alg. Vielfachheit. Wir kennen also schon aus b) drei Nullstellen. Und der Koeffizient von x^4 ist 1. Also muss es so aussehen wie ich geschrieben habe.
Aufpassen beim char. Polynom: Manche def. es auch als \(p(x)=\det (A-\lambda x)\), was fast das gleiche ist wie Deine Def., aber nur fast. Insb. bei der Verwendung von \(\det A\) gibt es einen Unterschied.
Insb. ist bei Deiner Formel für das char. Pol. die Det. nicht generell das Produkt der EWe, im R^n mit n gerade aber schon, da hast Du hier Glück gehabt.
  ─   mikn 16.04.2021 um 16:45

Danke! Trotzdem ist mir nicht ganz bewusst wie ich sonst den unbekannten EW bestimmen würde, wenn ich nicht so argumentieren könnte wie ich eben..   ─   benutzer333 16.04.2021 um 16:56

Wie kannst Du \(\det A\) berechnen, wenn Du das char. Pol. gegeben hast? Schau in die Def. deines char. Polynoms.   ─   mikn 16.04.2021 um 16:57

Ich bin etwas verwirrt, wenn das charakteristische Polynom =0 wird?   ─   benutzer333 16.04.2021 um 17:21

Nein. \(p(x)=\det (x\cdot I -A)\). Wie kommt man damit \(\det A\) möglichst nahe?   ─   mikn 16.04.2021 um 17:47

wenn x*I =0 wird?   ─   benutzer333 16.04.2021 um 17:50

Und weiter?   ─   mikn 16.04.2021 um 18:01

weiß leider nicht weiter..
  ─   benutzer333 16.04.2021 um 18:27

p(0)=? Und wie kommt man dann auf \(\det A\)? Diese Zusammenhänge sind wichtig wg der unterschiedlichen Def. des char. Polynoms (s.o.). Damit muss man umgehen können.   ─   mikn 16.04.2021 um 18:33

p(0)= det(A)= p_0? Heißt auch wir haben höchstens Grad n-2?   ─   benutzer333 16.04.2021 um 18:52

Rechne erstmal p(0) richtig aus. Dann überlege, wie man von da auf det A kommt. Dann kannst Du Aufgabe c) damit lösen und verstehst auch meine Bemerkungen zu den versch. Def. des char. Polynoms.   ─   mikn 16.04.2021 um 19:03

p(0)= -1^3*(-x_0) = det (A)? Meinen Sie diesen Zusammenhang? Ansonsten weiß ich nicht weiter..   ─   benutzer333 16.04.2021 um 19:12

Also dass in unserem Fall (zufällig) x_0 = det(A) ist, bzw auch ganz allgemein, dennoch hängt es von der Potenz ab, das heißt man kann sicherlich p(x) auch anders mit einer Signum Funktion definieren oder?   ─   benutzer333 16.04.2021 um 19:14

Von x_0 reden wir doch gar nicht. Es geht um \(p(x)=\det (x\cdot I -A)\) und da für x 0 einzusetzen. Vielleicht machst Du erstmal ne Pause, wenn das momentan zu schwierig ist.   ─   mikn 16.04.2021 um 19:23

Können Sie nicht einfach sagen worauf Sie hinauswollen, würde mir echt weiterhelfen. Danke für Ihre Hilfe!
  ─   benutzer333 16.04.2021 um 19:32

Ich schreib nochmal das Vorgehen auf. Wir gehen von \(p(x)=\det (x\cdot I -A)\) aus und kennen \(\det A\) aus a). Wir wollen den fehlenden EW bestimmen.
1. Was ist damit p(0)? Allgemein.
2. Wie hängt dann p(0) mit \(\det A\) zusammen? Allgemein.
3. Was ist hier, wo wir \(\det A=2\) wissen, also p(0)? Konkret.
4. Wir setzen nun (nicht vorher) \(p(x)=(x-1)^3(x-x_0)\). Mit dem Ergebnis aus 3. kann man dann \(x_0\) bestimmen. Konkret.
  ─   mikn 16.04.2021 um 19:33

1. p(0) = det(-A) = -det (A) (?)
2. p(0) ist also die det (A) mal minus 1
3. p(0) = -det(A) = -2
4. p(0)= (0-1)^3*(0-x_0) = -1^3 * (-x_0) = x_0 =! -2 (?)
  ─   benutzer333 16.04.2021 um 19:49

det (-A) ist nicht -det A, darum genau geht es. Schau nach Rechenregeln für Determinanten in den Unterlagen. \(\det (b\cdot A)=?\).   ─   mikn 16.04.2021 um 20:00

achsooo, det(b*A) = b^n *det(A) , wobei n= Anzahl der Zeilen/Spalten?   ─   benutzer333 16.04.2021 um 20:11

Genau!   ─   mikn 16.04.2021 um 21:24

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