Hallo,
weil ich gerade mal wieder über die Geschichte gestoßen bin, wollte ich deswegen mal nachfragen:
Es gibt ja so eine Geschichte wo es darum geht dass laut einem paradoxon Achilles niemals eine Schildkröte überholen kann.
Rein aus der praktischen Erfahrung heraus ist mir natürlich klar dass das Unsinn ist aber ich kann irgendwie nicht DEN Denkfehler hinter der zugrundeliegenden Logik des Gedankenspiels erkennen:
Die Aussage ist ja:
Die Schildkröte hat zu Beginn einen Vorsprung d0 vor Achilles.
Achilles bewegt sich mit Geschwindigkeit v1 und die Shcildkröte mit v2, wobei v1>> v2.
Nach einer Zeit t1 hat Achilles die Strecke d0 zurückgelegt, t1=d0/v1.
Als Achilles dort ankommt, ist logischerweise die Shcildkröte nicht mehr da sondern hat sich um eine Strecke
d1=v2*t1=v2*d0/v1=v2/v1*d0 weiterbewegt.
Der neue "Abstand" zwischen den beiden ist also d1.
klar ist dass der neue Abstand d1 ein ganzes Stück kleiner ist als der vorherige Abstand d0.
wenn man dieses prozedere immer wiederholt ist klar dass die abstände immer kleiner werden, die zeit die achilles zum zurücklegen der abstände braucht wird auch immer kleiner.
Aber irgendwie will mir, rein von der Mathematik her, nicht recht einleuchten, warum irgendwann Achilles die Shcildkröte überholt.
Ich meine, die d_i bilden ja eine Folge, die zwar immer kleiner wirs, aber stets immer größer 0 ist.
für i gegen unendlich strebt die Folge gegen 0.
gleichermassen ist auch klar dass sich einfach die explizite Formel
d_i=(v2/v1)^i *d0 finden lässt.
Aber, gerade weil diese Folgen linear fallend gegen 0 konvergiert sie aber rein von der folge her nie erreicht, ist mir unklar warum achilles die schildkröte überholt.
Sprich warum für irgendein sehr großes n d_n kleiner 0 wird.
Wo ist da der Denkfehler in der Sache, denn an sich erscheint mir die ganze Logik mit dieser Folge an Distanzwerten rehct logisch :-/
Im Endeffekt heißt das dann dass die Summe all dieser Teilzeiten endlich einen endlichen Wert ergibt, den man problemlos früher oder später erreicht.
Dementsprechend müsste es für die Summe der Abstände auch entsprechend sowas wie eine obere Grenze geben.
Die gerade den Überholort beschreibt und die der Achilles natürlich irgendwann erreicht weil er sich ja mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
Sinn machts auch wenn ich noch nicht perfekt den Fehler in dem ursprünglichen Denken benennen kann.
Wobei es vermutlich in der Annahme liegt dass, da ja die Abstände nie null werden, man verleitet ist zu denken dass die Summe der Abstände auch was unendlöiches ergeben muss weil ja es unendliche viele Abstände gibt.
Was aber nicht so ist, offensichtlich.
Genauso wie man die immer kleiner werdenden Teilzeiten addieren kann und es kommt trotzdem was Endliches raus. ─ densch 16.07.2021 um 00:52