Achilles und die Schildkröte

Aufrufe: 127     Aktiv: 16.07.2021 um 21:29

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Hallo,

weil ich gerade mal wieder über die Geschichte gestoßen bin, wollte ich deswegen mal nachfragen:

Es gibt ja so eine Geschichte wo es darum geht dass laut einem paradoxon Achilles niemals eine Schildkröte überholen kann.

Rein aus der praktischen Erfahrung heraus ist mir natürlich klar dass das Unsinn ist aber ich kann irgendwie nicht DEN Denkfehler hinter der zugrundeliegenden Logik des Gedankenspiels erkennen:

Die Aussage ist ja:

Die Schildkröte hat zu Beginn einen Vorsprung d0 vor Achilles.

Achilles bewegt sich mit Geschwindigkeit v1 und die Shcildkröte mit v2, wobei v1>> v2.

Nach einer Zeit t1 hat Achilles die Strecke d0 zurückgelegt, t1=d0/v1.

Als Achilles dort ankommt, ist logischerweise die Shcildkröte nicht mehr da sondern hat sich um eine Strecke

d1=v2*t1=v2*d0/v1=v2/v1*d0 weiterbewegt.

Der neue "Abstand" zwischen den beiden ist also d1.

klar ist dass der neue Abstand d1 ein ganzes Stück kleiner ist als der vorherige Abstand d0.

wenn man dieses prozedere immer wiederholt ist klar dass die abstände immer kleiner werden, die zeit die achilles zum zurücklegen der abstände braucht wird auch immer kleiner.

Aber irgendwie will mir, rein von der Mathematik her, nicht recht einleuchten, warum irgendwann Achilles die Shcildkröte überholt.

Ich meine, die d_i bilden ja eine Folge, die zwar immer kleiner wirs, aber stets immer größer 0 ist.

für i gegen unendlich strebt die Folge gegen 0.

gleichermassen ist auch klar dass sich einfach die explizite Formel

d_i=(v2/v1)^i *d0 finden lässt.

 

Aber, gerade weil diese Folgen linear fallend gegen 0 konvergiert sie aber rein von der folge her nie erreicht, ist mir unklar warum achilles die schildkröte überholt.

Sprich warum für irgendein sehr großes n d_n kleiner 0 wird.


Wo ist da der Denkfehler in der Sache, denn an sich erscheint mir die ganze Logik mit dieser Folge an Distanzwerten rehct logisch :-/

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Es hängt damit zusammen, das es zu einer Häufung der Zeitmesspunkte kommt. 
Sagen wir mal, Achilles bewegt sich viermal so schnell voran als die Schildkröte. In Gedanken entsteht eine Folge ((\(\frac{1}{4})^n\)) der Abstände zwischen Achilles und der Schildkröte. Diese Folge bleibt stets positiv, also überholt Achilles die Schildkröte nie. 
Man muss aber die Zeit berücksichtigen. Die erste Messung findet zum Zeitpunkt \(t_1\) = 1, die zweite bei  \(t_2\) =  \(t_1\) + 1/4, die dritte bei  \(t_3\) =  \(t_2\) + 1/16 u.s.w. Wir erhalten eine Reihe:
\(t_n\) = \(\sum_{j=0}^{n}(\frac{1}{4})^j\) = \(\frac{1-(\frac{1}{4})^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}\) = \(\frac{4}{3}\)(1- (\(\frac{1}{4})^{n+1}\)). Das heißt jetzt: Keine der Messung findet später als \(t_{max}\) = 4/3 statt. Es stimmt also gar nicht, das Achilles nie die Schildkröte überholt, er überholt sie nur nicht in den ersten 4/3 Zeiteinheiten.
Bei den Umformungen in der Reihe habe ich die geometrische Reihe verwendet.
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Ich würde sagen, die Zeit ist das Entscheidende. Nehmen wir an, die Schildkröte läuft 10m und Achilles 20m pro Minute. Wenn die Schildkröte nun 10m Vorsprung hat, dann ist klar, dass Achilles die Schildkröte nach einer Minute einholt.
Was passiert nun?
Nach 30 Sekunden ist Achilles da, wo die Schildkröte vorher war. Sie hat jetzt 5m Vorsprung.
Nach 15 weiteren Sekunden ist Achilles wieder da, wo die Schildkröte vorher war. Sie hat jetzt 2,5m Vorsprung.
Nach 7,5 weiteren Sekunden ist Achilles wieder da wo die Schilkröte vorher war. Sie hat jetzt 1,25m Vorsprung.
Nach 3,75 weiteren Sekunden ist Achilles wieder da wo die Schilkröte vorher war. Sie hat jetzt 0,625m Vorsprung.
Es sind insgesamt 56,25 Sekunden vergangen und würde man dieses Spiel fortführen, dann käme man auf diese Weise nie zu einer Minute. Und darin besteht der Trick. Solange man unter einer Minute bleibt, kann man das Spiel immer noch für einen Sekundenbruchteil verlängern. Aber nach genau einer Minute ist dann Schluss. Und dies ist ja auch genau der Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholen muss.
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Hm, das mahct irgendwo Sinn.
Im Endeffekt heißt das dann dass die Summe all dieser Teilzeiten endlich einen endlichen Wert ergibt, den man problemlos früher oder später erreicht.

Dementsprechend müsste es für die Summe der Abstände auch entsprechend sowas wie eine obere Grenze geben.
Die gerade den Überholort beschreibt und die der Achilles natürlich irgendwann erreicht weil er sich ja mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Sinn machts auch wenn ich noch nicht perfekt den Fehler in dem ursprünglichen Denken benennen kann.


Wobei es vermutlich in der Annahme liegt dass, da ja die Abstände nie null werden, man verleitet ist zu denken dass die Summe der Abstände auch was unendlöiches ergeben muss weil ja es unendliche viele Abstände gibt.
Was aber nicht so ist, offensichtlich.

Genauso wie man die immer kleiner werdenden Teilzeiten addieren kann und es kommt trotzdem was Endliches raus.
  ─   densch 16.07.2021 um 00:52

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Schau' Dir doch auch einmal die Lernplaylist Unterhaltsame Mathematik an. Dort ist das Problem unter Nummer 7 diskutiert.
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Ich probier nochmal eine Antwort zu der Frage, wo der Denkfehler liegt.

Du schreibst: "Sprich warum für irgendein sehr großes n d_n kleiner 0 wird."

Diese Aussage ist falsch. Richtig ist: Egal wie groß das n wird, das d_n bleibt positiv, es wird aber immer kleiner.

Nehmen wir mal das folgende, abwegige Beispiel: Ein Basketballspiel. 32 Sekunden vor dem Ende nimmt ein Team eine Auszeit. Dann geht es weiter. 8 Sekunden vor dem Ende wird die Zeit gestoppt, weil der Ball ins Publikum fliegt. Danach, 2 Sekunden vor dem Ende gibt es einen Korb. Wieder Time-out. So geht das weiter - immer, wenn die Restzeit auf ein Viertel geschrumpft ist, kommt eine neue Unterbrechung.

Dauert das Spiel dann theoretisch ewig?
Ja, denn bei jeder Unterbrechung wird die Zeit gestoppt, die Spieler sortieren sich neu und die Uhr wird neu gestartet. Jede Unterbrechung dauert also vielleicht eine Minute. Und weil es nach dem beschriebenen System unendlich viele Unterbrechungen gibt, bevor das Spiel endet, endet es nie.

Ok - wo ist jetzt hier der Denkfehler?
Es ist genau der gleiche Denkfehler. Jeder Schritt der beschriebene Folge wirkt(!) gleich groß (analog zur Länge einer Unterbrechung), weil man jedesmal die Zeit anhält, wenn Achilles den letzten Ort der Schildkröte erreicht hat. Dann macht man jedesmal die immer gleiche Rechnung, die aufgrund der Nachkommastellen auch noch immer länger wird... danach startet die Uhr wieder.
-> dabei wird die pro Schritt verflossene Zeit aber eigentlich immer kleiner, und zwar werden die Zeitabschnitte so schnell kleiner, dass der Zeitpunkt (ja, Punkt !) des Spielendes nie erreicht wird.
Genauso kommt es nie zum Überholen, weil der Zeitpunkt des Überhol-Vorgangs nicht erreicht wird. Man könnte auch sagen, dass die Zeit immer langsamer läuft, bis sie zum Stillstand gekommen zu sein scheint (naja, es geht pro Schritt halt nur noch unmerklich vorwärts...)

Würde man übrigens erst eine halbe Minute, dann eine Drittel-Minute, dann eine Viertel-Minute (also im Nenner immer eins mehr) als Verlängerungen oben drauf packen, dann wäre die Spielzeit tatsächlich unendlich lang - auch wenn die Unterbrechungen keine Zeit verbrauchen würden... (das wäre dann die harmonische Reihe, die ja nicht konvergiert). Wenn man diese auf das Schildkröten-Beispiel anwenden würde, dann käme es zum Überholvorgang und zu einem negativen dn.

Vielleicht bist Du dem Verständnis des Denkfehlers jetzt wieder dn näher gekommen.
Wenn es weitere Erklärungsversuche gibt, bleibt die Frage, ob Du dem Verständnis nur näher kommst, oder irgendwann dieses Problem "hinter Dir lässt".
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