Funktionsuntersuchung einer Funktionsschar

Erste Frage Aufrufe: 69     Aktiv: 08.04.2021 um 11:59

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Moin Moin,

Ich weiß was eine Funktionscharr ist und ich weiß wie eine Funktionsuntersuchung abläuft.

Jedoch komme ich bei folgender nicht weiter.

Funktionen + Ableitungen

 

f(x)=3x^2-3/kx^3
f´(x)=6x-9x^2/k

f´´(x)=6-18x/k
f´´´(x)=-18/k

Ich verstehe nicht wie ich die erste und zweite Ableitung umformen muss damit ich da die Extremstellen und den WP Herrausbekommen kann.

 

mit Freundlichen Grüßen,

 

basti

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1 Antwort
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Hallo,

sehe ich das richtig, dass die ursprüngliche Funktion 

$$ f_k(x) = 3x^2 - \frac 3 k x^3 $$
ist?
Dann sind deine Ableitungen schon mal korrekt. 
Nun musst du die Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung herausfinden. 
$$ 6x - \frac 9 kx^2 =0$$
$$ 6 - \frac {18} k x =0 $$ 

Probiere doch vielleicht erstmal die Nullstellen von 

$$ 6x - 9x^2 =0 $$

zu bestimmen. Klappt das? Bedenke dann, dass der Parameter \(k\) wie eine normale Zahl behandelt werden soll. 

Kommst du dann auf die Lösung?

Grüße Christian
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Hallo Christian.

Ja die ursprüngliche gleichung hast du gut erkannt.
Und die Nullstellen von 6x-9x^2 sind n1 =2/3
n2 = 0

Und das der Parameter k als Konstante Zahl gerechnet wird weiß ich. Aber ich komme nicht auf die Umformung...
Einfach durch k teilen ?

Grüße basti
  ─   user5899a1 07.04.2021 um 00:07

Das sieht doch schon mal alles wunderbar aus.
Nun ist wie gesagt, \( k \) wie eine Zahl zu behandeln. Betrachte also
$$ 6x-\frac 9k x^2 = 0 $$
und mache im Prinzip genau die gleichen Schritte. Nur das du jede Umformung die sich auf die \( 9 \) bezogen hat, jetzt auf \( \frac 9 k \) bezieht. Wenn es immer noch nicht ganz klappt, setze für \( k \) eine weitere Zahl ein, vielleicht \(2 \) und löse es dann nochmal auf.

Das \(k \) wirkt am anfang so falsch, aber sobald man ein Gefühl für Parameter entwickelt, kann es einem sogar einiges an Arbeit abnehmen.

Deine Lösung wird (hier zumindest eine) von \( k \) abhängen. Wir haben vorhin \( k=1 \) gesetzt, um es ignorieren zu können. Wenn du in die Lösung mit \( k\) für \( k=1 \) setzt, muss auch deine Lösung von davor dabei raus kommen.
  ─   christian_strack 07.04.2021 um 00:19

Hallo Christian,

Wenn ich für k eine x beliebige Zahl einsetze teile ich 9 durch diesen Wert und verwende die PQ-Formel.

Aber die kann ich ja nicht anwenden wenn da noch das k steht. Das ist mein Problem.

Ich weiß das ich die Funktion in Abhängigkeit von k habe.
Demnach muss ich doch nach k Auflösung oder nicht?

  ─   user5899a1 07.04.2021 um 09:18

Du kannst diese Gleichung auch ohne pq-Formel lösen.
$$ 6x - \frac 9 k x^2 = x(6- \frac 9 k x) = 0 $$
MIt Hilfe des Satzes vom Nullprodukt erhalten wir
$$ x = 0 \lor 6-\frac 9 k x = 0 $$
Kannst du die zweite nach \( x \) auflösen?

Für die pq-Formel haben wir den Ansatz

$$ 6x- \frac 9 k x^2 = 0 \Rightarrow x^2 - k \frac 69 x = 0 $$
Wir teilen also einfach durch \( \frac 9 k \). Das \(p \) in der pq-Formel ist nun \( p=- k\frac 69 \).

Du musst dich davon "verarbschieden" den Ausdruck zu vereinfachen. Nimm einfach den ganzen "Klumpen" und versuche damit weiter zu arbeiten :)
  ─   christian_strack 07.04.2021 um 14:57

Hallo Christian,

das müsste folgendes ergeben,
6-9/k*x | -6
9/k*x=-6 | / (9/k)
x=-6/(9/k)

und wenn ich das richtig verstanden habe, hast du ein x faktorisiert, und das Ergebnis einer Multiplikation ist 0 wenn einer der Summanden 0 ist richtig?

den WEP müsste demnach bei x= 6-18/k*x |-6
-6=18/k*x | /18/k
-6//18/k)= x sein
hab ich das richtig verstanden?

mit lieben grüßen,

basti
  ─   user5899a1 07.04.2021 um 16:39

Hallo Basti,

nicht ganz. du hast einen Vorzeichenfehler gemacht
$$ \begin{array}{cccl} 6 - \frac 9 k x & = & 0 &|- 6 \\ - \frac 9 k x & = & -6 & |\cdot (-1) \\ \frac 9 k x & = & 6 & | \div \left( \frac 9 k \right) \\ x & = & \frac 6 {\frac 9 k} \\ x & = & \frac {6k} 9 \end{array} $$

Verstehst du den letzten Schritt? Wenn wir durch einen Bruch teilen, multiplizieren wir mit dem Kehrwert.
Wir können noch etwas vereinfach wenn wir wollen
$$ \frac {6k} 9 = \frac {2k} 3 $$

Wenn wir dort jetzt \( k=1 \) setzen, erhalten wir auch die vorherige bestimmte Lösung \( \frac 2 3\).

Genau das hast du absolut richtig verstanden. Nur nennt man "Bestandteile" einer Multiplikation Faktoren und nicht Summanden :)
Ist dir auch klar, warum ich hier faktorisiert habe anstatt durch \( x \) zu teilen?

Ich zeige dir für das Verständnis noch einmal die pq-Formel (mit \( p = -k\frac 69 = -k \frac 2 3 \))

$$ x_{1/2} = - \frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2 -q} = - \frac {-k\frac 23} 2 \pm \sqrt{ \left( \frac {-k\frac 23} 2 \right)^2 - 0} = \frac k 3 \pm \frac k3 $$

und somit

$$ x_1 = \frac k3 + \frac k3 = \frac {2k} 3 $$
und
$$ x_2 = \frac k3 - \frac {k} 3 =0 $$

wir erhalten also das selbe Ergebnis :)

Bei dem Wendepunkt hast du den selben Vorzeichenfehler gemacht.

$$ \begin{array}{cccl} 6 - \frac {18} k x & = & 0 & | - 6 \\ - \frac {18} k x & = & -6 & | \cdot (-1) \\ \frac {18} k x & = & 6 & |\div \frac {18} k \\ x & = & 6 \cdot \frac k{18} \\ x & = & \frac k 3 \end{array} $$

Also zwei Tipps:
1) Wenn du zwei Summanden hast und einer davon ist negativ, dann hole diesen zuerst auf die andere Seite. Dann kann dir das mit dem Vorzeichen nicht passieren und du sparst dir den Schritt die Vorzeichen zu tauschen
2) Fasse die Brüche am Besten am Ende noch etwas schöner zusammen. Man kann auch mit einem Parameter dabei wenigstens ein bisschen vereinfachen und so macht man sich das Leben in weitere Schritten einfacher :)

Ist dir klar geworden, wie man mit einem Parameter rechnet? Wenn du magst, bestimme noch einmal die Nullstellen. Ich gucke gerne nochmal drüber
  ─   christian_strack 07.04.2021 um 17:58

Hallo Christian,

Ja danke jetzt ist es mir klar geworden.

Herzlichen Dank.

Ich wünsche noch einen schönen Abend und vielen vielen Dank.

Liebe Grüße,
basti
  ─   user5899a1 07.04.2021 um 23:06

Sehr gerne, freut mich das ich helfen konnte :)   ─   christian_strack 08.04.2021 um 11:59

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