Sei \(G\) eine Gruppe mit $|G|<\infty$, für \(g\in G\) schreibe \(\mathrm{ord}(g)\) für die Ordnung von $g$. Du kannst dich leicht davon überzeugen, dass für $g\in G,\ n\in\mathbb N$ gilt $$\mathrm{ord}(g^m)=\frac{\mathrm{ord}(g)}{\mathrm{ggT}(m,|G|)}$$ Ansonsten findest du einen (englischen) Beweis auch hier. Bei Fragen dazu kannst du dich gern nochmal melden.

Um das jetzt auf dein Problem anzuwenden: Die Erzeuger sind ja genau die Elemente mit maximaler Ordnung. Ist der \(\mathrm{ggT}\) von \(m\) und \(|G|=10\) also \(1\), bleibt die Ordnung von \([2]^m\) gleich und das Element ist wieder ein Erzeuger. Die zu \(10\) teilerfremden Zahlen sind genau 1,3,7 und 9, damit hast du also vier Erzeuger gefunden. Du hast schon erkannt, dass es genau vier Erzeuger geben muss, also weißt du, dass du alle Erzeuger gefunden hast. Alternativ kann man sich auch überlegen, dass in jeder zyklischen Gruppe die Erzeuger genau \(\{z^m\ |\ z\text{ Erzeuger, }m\leq|G|\text{ teilerfremd zu }|G|\}\) sind.