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Hallo,
ich weiß, dass es aufgrund von phi(10)= 4 Erzeuger gibt. 
2 ist einer davon. 
In der Lösung wurden die weiteren so angegeben:  [2]^3 , [2]^7 und [2]^9 . Das müssten dann 8, 7 und 6 sein. Mir ist nicht ersichtlich, warum man diese durch eine Zweierpotenz ausdrückt. Kann man gleich vom 1.  Erzeuger 2 darauf schließen dass 2^3 und 2^7 und 2^9 auch Erzeuger sein müssen? ( Das nur Elementordnungen 1, 2, 5 und 10 infrage kommen ist mir bewusst).

Viele Grüße
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Sei \(G\) eine Gruppe mit $|G|<\infty$, für \(g\in G\) schreibe \(\mathrm{ord}(g)\) für die Ordnung von $g$. Du kannst dich leicht davon überzeugen, dass für $g\in G,\ n\in\mathbb N$ gilt $$\mathrm{ord}(g^m)=\frac{\mathrm{ord}(g)}{\mathrm{ggT}(m,|G|)}$$ Ansonsten findest du einen (englischen) Beweis auch hier. Bei Fragen dazu kannst du dich gern nochmal melden.

Um das jetzt auf dein Problem anzuwenden: Die Erzeuger sind ja genau die Elemente mit maximaler Ordnung. Ist der \(\mathrm{ggT}\) von \(m\) und \(|G|=10\) also \(1\), bleibt die Ordnung von \([2]^m\) gleich und das Element ist wieder ein Erzeuger. Die zu \(10\) teilerfremden Zahlen sind genau 1,3,7 und 9, damit hast du also vier Erzeuger gefunden. Du hast schon erkannt, dass es genau vier Erzeuger geben muss, also weißt du, dass du alle Erzeuger gefunden hast. Alternativ kann man sich auch überlegen, dass in jeder zyklischen Gruppe die Erzeuger genau \(\{z^m\ |\ z\text{ Erzeuger, }m\leq|G|\text{ teilerfremd zu }|G|\}\) sind.
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