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Gleichmäßige Konvergenz heißt ja, dass das von einem vorgegebenen $\epsilon$ abhängige $n_0$ (so dass für alle $n\ge n_0$...) unabhängig von $x$ gewählt werden. In der rechten Seite der Ungleichung kommt aber kein $x$ mehr vor, nur noch Konstanten und ein nur von $k$ abhängiges Folgenglied einer Folge, die laut Voraussetzung gegen 0 konvergiert.
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mikn
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