Matrixexponentialfunktion

Erste Frage Aufrufe: 43     Aktiv: 03.05.2021 um 14:28

0
Hi,
Ich hab hier eine Standartmatrix gegeben und zwar 

A= 0   - 1
      1     0

Ich soll jetzt zeigen, dass für alle k= 0, 1, 2,3....etc

A^(2k) =(-1)^k   1

Ist

Mir ist klar, dass ich da vermutlich mit Induktionsbeweisen arbeiten müsste, habe aber irgendwie keine Ahnung wie ich das genau mache und wie die "Rechnung" dann aussehen müsste... 

Kann da jemand weiterhelfen? 
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 

Kommentar schreiben

2 Antworten
0
Geht sicher auch mit Induktion, aber warum so kompliziert?
A^2 ausrechnen und Potenzrechenregeln benutzen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 13.33K
 

Ja stimmt. Macht Sinn. Also A^2 habe ich bereits ausgerechnet. Ich weiß nur noch nicht so genau, wie ich das genau alles aufschreiben soll. So das am Ende auch das rauskommt, was ich beweisen soll.   ─   user191ea6 03.05.2021 um 13:27

In einer Zeile: \(A^{2k}=(A^2)^k = (\ldots)^k = \ldots \).   ─   mikn 03.05.2021 um 13:33

Kommentar schreiben

0
Erstmal prüfst du beim Induktionsbeweis den Induktionsanfang.
Gilt die Aussage für k=1? Also rechne A*A und es kommt raus -E also (-1)*E . passt.  (E = Einheitsmatrix).
Jetzt nehmen wir an,die Aussage stimmt für k und behaupten, sie stimmt auch für k+1.
Das müssen wir nachrechnen: \(A^{(2(k+1)} =A^{2k}*A^2= ((-1)^k*E)A^2= (-1)^k*E*A^2 =(-1)^k(-1)*E=(-1)^{k+1}*E \) q.e.d.
Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 7.84K
 

Ah ja okay. Das versteh ich. Danke!   ─   user191ea6 03.05.2021 um 13:29

Rechne ich da immer mit der Einheitsmatrix? Unabhängig davon was ich beweisen will? Und macht es Sinn in der Rechnung die Matritzen auszuschreiben, statt nur E und A aufzuschreiben? Das war dann auch alles was ich wissen will. Das Thema wurde nur kurz angeschnitten und deshalb hab ich keine Ahnung was ich hier eigentlich tun muss...   ─   user191ea6 03.05.2021 um 14:04

Die Einheitsmatrix muss man nicht hinschreiben. Da ist klar wie die aussieht.
Die \( A^2\) musstest du beim Induktionsanfang einmal rechnen, ob da wirklich - E rauskommt.
Da weiterhin nur \(A^2\) vorkommt musst du hier nicht die Matrix explizit ausschreiben.
  ─   scotchwhisky 03.05.2021 um 14:28

Kommentar schreiben