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Hey kann mir wer bitte die b und c lösen und einfach erklären bitte (bitte kein mathelatein, sondern normales deutsch für mathe dummys) ich bin seit 2h am verzweifeln
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Für den Gradienten berechnest du die partiellen Ableitungen nach x und y, wie das geht, habe ich dir bereits in deiner letzten Frage beantwortet. Diese beiden Ableitungen schreibst du dann in einen Vektor und hast deinen Gradienten, denn der Gradient ist der Vektor der partiellen Ableitungen !
Die Hesse Matrix ist sozusagen die zweite Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion. Dafür nimmst du die partiellen Ableitungen, die du in deinem Gradienten hast und leitest diese wiederum nach x und y ab. Daraus erhältst du eine Matrix, die sogenannte Hesse Matrix. Du hast im Gradienten die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \) und \( \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \). Diese leitest du noch wiederum ab. Zur Berechnung von \( \frac{\partial f}{\partial x \partial x}(x,y) \) leitest du die partielle Ableitung erneut partiell nach x ab. Bei \( \frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x,y) \) leitest du deine partielle Ableitung nach x nochmal nach y ab. Gleiches machst du mit \( \frac{\partial f}{\partial y \partial x}(x,y) \) und \( \frac{\partial f}{\partial y \partial y}(x,y) \), wo du die partielle Ableitung nochmal nach x, bzw. y ableitest. Das ganze schreibst du in eine quadratische 2x2 Matrix und hast damit deine Hesse Matrix.
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el_stefano
M.Sc., Punkte: 6.68K
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Kannst bitte auch das durchrechnen dür mich ?
─
anonym4e376
27.03.2020 um 10:33
Nein! Es hilft dir wenig, wenn man es dir einfach nur vorrechnet. Du kannst es gern selber probieren, deine Ansätze hier reinstellen und anschließend kann man mögliche Fehler oder Verständnisprobleme besprechen. Ansonsten schau dir erstmal bei Daniel Jung die ganzen Videos bezüglich partieller Ableitung und Hesse Matrix an, versuche das zu verstehen, lies dann nochmal meine Hinweise und probiere es selber zu rechnen.
─
el_stefano
27.03.2020 um 11:00
Ein Beispeil gebe ich dir mal:
Die partielle Ableitung nach x lautet:
\( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2 - 2x \cdot \ln(y^2 + 1) - 3 \)
Für die Hesse Matrix kannst du diese nun wiederum nach x und y ableiten:
\( \frac{\partial f}{\partial x \partial x}(x,y) = 6x - 2 \cdot \ln(y^2 + 1) \)
\( \frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x,y) = - 2x \cdot \frac{1}{y^2 + 1} \cdot 2y \)
Das gleiche machst du nun auch noch mit y. Also erst die partielle Ableitung bilden und diese wiederum nach x und y ableiten! ─ el_stefano 27.03.2020 um 11:10
Die partielle Ableitung nach x lautet:
\( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2 - 2x \cdot \ln(y^2 + 1) - 3 \)
Für die Hesse Matrix kannst du diese nun wiederum nach x und y ableiten:
\( \frac{\partial f}{\partial x \partial x}(x,y) = 6x - 2 \cdot \ln(y^2 + 1) \)
\( \frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x,y) = - 2x \cdot \frac{1}{y^2 + 1} \cdot 2y \)
Das gleiche machst du nun auch noch mit y. Also erst die partielle Ableitung bilden und diese wiederum nach x und y ableiten! ─ el_stefano 27.03.2020 um 11:10
Ich komm leider bei dem thema nicht mit daniel jungs ansätzen zurecht hab mir aber schon einige videos angeschaut und weiss wie die partielle ableitung geht, aber mit e funktionen da hab ich keine ahnung wir haben das selbst im studium nicht gemacht in diesed form das ist eine hausaufgabe aber und ich hab keine ahnung wie ich was behandeln soll
─
anonym4e376
27.03.2020 um 11:26
Hier taucht doch nirgendwo eine e-Funktion auf? Und selbst wenn, die leitest du genauso ab, wie es im eindimensionalen auch passieren würde, nämlich über die Kettenregel. Wenn du damit Schwierigkeiten hast, dann musst du dir die Grundlagen der Ableitung und vor allem Ableitung mit Kettenregel nochmal anschauen.
─
el_stefano
27.03.2020 um 12:16
Ich finde @El_Stefano hat das schon sehr gut und ausführlich erklärt, vielleicht hilft dir auch, wenn du die Videos zum Nabla Operator anschaust, denn der Gradient ist die Multiplikation der Funktion mit dem Nabla Operator:
\text{grad(f(x,y)) = }\overrightarrow{\text{∇}}\;\text{*}\;\text{f(x,y)}\;\text{=}\;\begin{pmatrix}\textstyle\frac\partial{\partial x}\\\textstyle\frac\partial{\partial y}\end{pmatrix}\;\text{* }\;\text{f(x,y)=}\;\begin{pmatrix}\textstyle\frac{\partial\;}{\partial x}\ast f(x,y)\\\textstyle\frac\partial{\partial x}\ast f(x,y)\end{pmatrix}\;\text{=}\begin{pmatrix}f_x{(x,y)}_{}\\f_y(x,y)\end{pmatrix}
Die Hesse-Matrix funktioniert simultan, nur dass du wie bereits gesagt, die Ableitung 2.Ordnung brauchst.
also du rechnest jetzt fxx, fxy, fyx, fyy (wobei hier fxy = fyx ist, somit kannst du einfach nur eins von beidem einsetzen und dann baust du dir damit deine Matrix auf.
fxx fxy
fyx fyy
und schon bist du fertig
─ thenrone 27.03.2020 um 12:26
\text{grad(f(x,y)) = }\overrightarrow{\text{∇}}\;\text{*}\;\text{f(x,y)}\;\text{=}\;\begin{pmatrix}\textstyle\frac\partial{\partial x}\\\textstyle\frac\partial{\partial y}\end{pmatrix}\;\text{* }\;\text{f(x,y)=}\;\begin{pmatrix}\textstyle\frac{\partial\;}{\partial x}\ast f(x,y)\\\textstyle\frac\partial{\partial x}\ast f(x,y)\end{pmatrix}\;\text{=}\begin{pmatrix}f_x{(x,y)}_{}\\f_y(x,y)\end{pmatrix}
Die Hesse-Matrix funktioniert simultan, nur dass du wie bereits gesagt, die Ableitung 2.Ordnung brauchst.
also du rechnest jetzt fxx, fxy, fyx, fyy (wobei hier fxy = fyx ist, somit kannst du einfach nur eins von beidem einsetzen und dann baust du dir damit deine Matrix auf.
fxx fxy
fyx fyy
und schon bist du fertig
─ thenrone 27.03.2020 um 12:26
Das Ding ist halt das ich keine Struktur bzw noch „keine Anleitung“ habe wie ich bei der partiellen Ableitung mit einem ln() vorgehen soll. Vorhin hieß es irgendwie das wenn ich zuerst nach x ableite dieses ln() so stehen lassen soll und erst wenn ich nach y aufleite es zu einem 1/x umwandeln muss. Wo ich dann aber in meinem Skript eine Aufgabe gefunden habe wo sogar bei der Ableitung von x aus dem ln(x) ein 1/x würde was mich sehr sehr verwirrt.
─
anonym4e376
27.03.2020 um 16:11
Wäre es dann nicht an der Zeit dir ein Rezept zu schrieben?
Wobei es so viel gar nicht bringt an der Stelle, viel wichtiger wäre wenn du dir deinen Mittelstufenstoff zum Ableiten nochmal anschaust, denn das hat man durchaus schon mal gemacht und nur weil es hier etwas anders aussieht ist es, man mag es kaum glauben, immer noch das selbe :)
- oder auch möglich, schnapp dir eine Ableitung-/Integrationstabelle, die Hilft dir vielleicht auch schon weiter, die findest du online oder im Tabellenbuch deines Vertrauens.
Grundsätzlich frage ich mich jetzt was du "aufbieten", was normalerweise auf integrieren genannt wird, vor hast, du möchtest doch Ableiten?
Also bildest du erst einmal die Ableitung deiner Funktion nach x, also fx(x,y).
Dazu leitest du erst den ersten Term nach x ab und dann gehst du weiter zum zweiten Term, hier ist jetzt dein ln(y^2+1) ...
Hier hast du ein x^2 noch dran multipliziert und deshalb brauchst du hier eine Produktregel.
Dann leitest du erst das x^2 ab und multiplizierst dein ln wieder dran und dann müsstest du jetzt nach dem ln ableiten, da denkst du aber ganz scharf nach und stellt fest, dass das ding beim Ableiten nach x, beim nachdifferenzierten 0 ergibt und gehst weiter deines Weges zum dritten Term, welchen du jetzt auch locker flockig ableitest, das ist doch alles gar nicht so schwer, denn *zack* wir haben für die a) schon die halbe Miete eingefahren, denn fx(x,y) ist bereits geschafft.
Das gleiche kannst du jetzt noch nach y machen, aber Obacht wir wollen die Ableitung 1. Ordnung, deshalb leitest du nicht jetzt schon den Term ab, welchen du in vorherigen schritten errungen hast, sondern nimmst wieder die Funktion vom Anfang :)
Und grundsätzlich ist die Ableitung vom ln(x) -> (1/x)*x' <- Hier nicht das Nachdifferenzieren vergessen.
Ich hoffe das hilft dir etwas weiter :) ─ thenrone 27.03.2020 um 17:27
Wobei es so viel gar nicht bringt an der Stelle, viel wichtiger wäre wenn du dir deinen Mittelstufenstoff zum Ableiten nochmal anschaust, denn das hat man durchaus schon mal gemacht und nur weil es hier etwas anders aussieht ist es, man mag es kaum glauben, immer noch das selbe :)
- oder auch möglich, schnapp dir eine Ableitung-/Integrationstabelle, die Hilft dir vielleicht auch schon weiter, die findest du online oder im Tabellenbuch deines Vertrauens.
Grundsätzlich frage ich mich jetzt was du "aufbieten", was normalerweise auf integrieren genannt wird, vor hast, du möchtest doch Ableiten?
Also bildest du erst einmal die Ableitung deiner Funktion nach x, also fx(x,y).
Dazu leitest du erst den ersten Term nach x ab und dann gehst du weiter zum zweiten Term, hier ist jetzt dein ln(y^2+1) ...
Hier hast du ein x^2 noch dran multipliziert und deshalb brauchst du hier eine Produktregel.
Dann leitest du erst das x^2 ab und multiplizierst dein ln wieder dran und dann müsstest du jetzt nach dem ln ableiten, da denkst du aber ganz scharf nach und stellt fest, dass das ding beim Ableiten nach x, beim nachdifferenzierten 0 ergibt und gehst weiter deines Weges zum dritten Term, welchen du jetzt auch locker flockig ableitest, das ist doch alles gar nicht so schwer, denn *zack* wir haben für die a) schon die halbe Miete eingefahren, denn fx(x,y) ist bereits geschafft.
Das gleiche kannst du jetzt noch nach y machen, aber Obacht wir wollen die Ableitung 1. Ordnung, deshalb leitest du nicht jetzt schon den Term ab, welchen du in vorherigen schritten errungen hast, sondern nimmst wieder die Funktion vom Anfang :)
Und grundsätzlich ist die Ableitung vom ln(x) -> (1/x)*x' <- Hier nicht das Nachdifferenzieren vergessen.
Ich hoffe das hilft dir etwas weiter :) ─ thenrone 27.03.2020 um 17:27
Danke thenrone aber leider wird mir das Ganze nicht klar ;( kannst du mir bitte nur die partielle Ableitung nach x und y einmal ausführlich hinschreiben ? Wäre Dir sehr dankbar da ich ja nur damit Probleme habe
─
anonym4e376
29.03.2020 um 09:44