Grenzwert berechnen

Aufrufe: 897     Aktiv: 22.03.2021 um 14:38
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Hallo, ich habe das folgende Beispiel gelöst indem ich (...)^x erstmal weggelassen und den Grenzwert des Klammerausdrucks berechnet habe.
Danach habe ich den Grenzwert des Klammerausdrucks ^x genommen.

Darf man das so machen, wenn nicht wie könnte ich dieses Beispiel richtig lösen?

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Ich würde es anders machen. Wenn Du in der Klammer x ausklammerst, lässt sich das oben und unten kürzen, bleibt je aber im Nenner stehen. Wenn x aber unendlich groß wird, werden diese Brüche unedlich klein, sind also vernachlässigbar. dann bliebe 1/1^x übrig und davon hast Du den Grenzwert ja schon berechnet.
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Ich glaube es geht in der Frage darum, ob er \(\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)}=(\lim_{x \to \infty f(x)})^{\lim_{x \to \infty}g(x)}\) verwenden darf   ─   mathejean 22.03.2021 um 14:05
Ja, aber ist doch unnötig kompliziert, der Rechenweg   ─   alexanderholmes 22.03.2021 um 14:13
Ja, das mit l´Hospital hätte er sich wirklich sparen können, trotzdem verwendest du auch in deinem Beweis, dass \(\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)}=(\lim_{x \to \infty f(x)})^{\lim_{x \to \infty}g(x)}\) gilt.   ─   mathejean 22.03.2021 um 14:34
jup   ─   alexanderholmes 22.03.2021 um 14:38

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Wenn ihr bereits bewiesen habt, dass $$\lim_{x \to \infty} f(x)^{g(x)}=\Bigl(\lim_{x \to \infty f(x)}\Bigr)^{\lim_{x \to \infty}g(x)}$$ gilt, wenn \(\lim_{x\to \infty} f(x) \not = 0\) und \(\lim_{x\to \infty} g(x) \not = 0\) gilt, darfst du das aufjedenfall verwenden.
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