(Twitter)
Hey,
es sind ja schon 2 Werte gegeben bei x=0 , x=5
aber wie finde ich die Wachstumsrate heraus bzw. wie soll ich so die exponentielle funktion bilden ?
Hey jay :)
Du hast deinen Anfangswert a gegeben mit 30 mg und einen Wert mit J(5) = 22 mg.
Damit kannst du sagen \( 22 mg = 30 mg \cdot e^{-k \cdot 5} \)
Das stellst du nun nach k um und schaust, ob es stimmt.
\( ln( \frac{22}{30} ) = ln( e^{-k \cdot 5} ) \)
\( -0.31 = -k \cdot 5 \)
\( 0.062... = k \) passt also.
Die fertige Funktionsgleichung lautet dann:
\( J(t) = 30 mg \cdot e^{-0.062 \cdot t} \)
Für die (2) setzt du einfach für t eine Woche (in Tagen) ein
Die Halbwertszeit ist definiert als \( f(T_{H}) = \frac{1}{2} \cdot f(0) \) nach ein bisschen mathematischer Spielerei, die ihr im Unterricht gemacht haben solltet, kommt man dann auf:
\( T_{H} = \frac{ln(\frac{1}{2})}{k} = - \frac{ln(2)}{k} \)
zur (4): 80% von 30 mg sind 24 mg -> nach wie vielen Tagen sind noch 6 mg übrig? Gesucht ist also t für J(t) = 6 mg. Die 6 mg oben in die Funktionsgleichung einsetzen und nach t umstellen.
Punkte: 120
J(5) = 22 mg das heißt: 22 mg = 30 mg * e^(-k*5)
dann als erstes durch 30 mg teilen und auf beiden Seiten den ln bilden, um den Exponenten "herunterzubekommen"
-0.31 = -k * 5 -> nach k umstellen: k = 0.062... (wie in der Aufgabe zum Vergleichen angegeben)
damit lautet die fertige Gleichung für den Zerfall:
J(t) = 30 mg * e^(-0.062... * t)
Du kannst nun jeden beliebigen Zeitpunkt einsetzen und erhälst die Jodmenge. :) ─ soxxes 08.06.2020 um 17:55