Vektorraum

Aufrufe: 30     Aktiv: 26.05.2021 um 12:05

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Was genau ist der Unterschied zwischen der Basis eines Raumes, einer linearen Hülle und den erzeugenden Vektoren?
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Hallo,

aus einer Menge von Vektoren kann man durch Linearkombination dieser Vektoren einen Vektorraum aufspannen. Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren nennt man lineare Hülle. Die Menge von Vektoren die wir für die Linearkombination nutzen nennt man Erzeugendensystem der linearen Hülle (oder des Vektorraums). Die Vektoren in diesem Erzeugendensystem sind dann die erzeugenden Vektoren.

Eine Basis ist nun ein spezielles Erzeugendensystem. Es ist das minimale Erzeugendensystem eines Vektorraums. Das bedeutet, dass wenn wir einen Vektor aus der Basis entfernen, wir den Vektorraum nicht mehr erzeugen können. Das gewährleisten wir durch die Eigenschaft, dass alle Vektoren des Erzeugendensystem linear unabhängig sind. Ist das gegeben, ist das Erzeugendensystem eines Vektorraums auch gleichzeitig Basis des Vektorraums.

Grüße Christian
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