Bedeutung der Steigung von f''(x) für f(x)

Erste Frage Aufrufe: 178     Aktiv: 13.05.2024 um 16:41

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Moin zusammen, 

ich stelle mir gerade die Frage, welche Bedeutung die Steigung der zweiten Ableitung für die Ausgangsfunktion hat, denn eigentlich ist für eine Kurvendiskussion doch nur relevant, ob f''(x) positiv oder negativ ist. Ich könnte mir vorstellen, dass man diese zur genauen Bestimmung der WP benötigt wird um z.B. eine Tangente zu bestimmen, jedoch ist das von der Aufgabenstellung abhängig und fällt ja nicht unter eine "standart" Kurvendiskussion. 

Danke für eure Hilfe!
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Die zweite Ableitung wird bei einer "Standard"-Kurvendisskusion benötigt für die hinreichende Bedingung der Extrema und für die notwendige Bedingung der Wendepunkte. Meines Erachtens gehört die Betrachtung der WP zur "herkömmlichen" KD dazu. Zur Berechnung einer Tangente wird die zweite Ableitung nicht benötigt.

Generell sollte man sich angewöhnen am Anfang einer Kurvendiskussion stets die ersten drei Ableitungen zu bilden. Die Funktion könnte ja auch einen Sattelpunkt besitzen. Ist dir bekannt, welche Bedingungen dafür gelten müssen?
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Okay, danke dir.
Kennst du eine gute Übersicht für eine Kurvendiskussion?

Zu Sattelpunkten hat Daniel ein Video gemacht, verstanden in nur 2:06min :)
Wenn die Nullstellen von f'(x)=0 (->x_n) in f''(x) (also f''(x_n)) eingesetzt werden (also die Extremstellen von f(x) x_n = x_e) und dies ebenfalls 0 ergibt beweist dies, dass die Extremstelle x_e von f(x) ein Sattelpunkt ist. Um das genaue Verhalten von diesem zu bestimmen können wir entweder eine Monotonietabelle mit f'(x) anfertigen oder das Verhalten des Wendepunktes mit f'''(x_e) bestimmen. Wenn f'''(x_e) < 0 ist gilt: StlP von x_e ist LR-gekrümmt, sonst bei f'''(x_e)>0 gilt: StlP von x_e ist RL-gekrümmt.
Sollte so mein ich hinhauen...
  ─   sirrheinrich 10.05.2024 um 17:00

Bei Sattelpunkten hast du keine RL- bzw. LR-Krümmung vorliegen. Der Anstieg „ändert“ da nicht seine Richting. Beim Sattelpunkt ändert sich auch die Monotonie nicht. Die Aufgabe für dich war ja die Bedingungen für einen Sattelpunkt herauszusuchen. Auch hier gibt es ein notwendiges und hinreichendes Kriterium. Da spielt auch die dritte Ableitung eine Rolle. Diesen Weg zur Selbsterkenntnis möchte ich dir nicht Spoilern.   ─   maqu 10.05.2024 um 19:11

Ein Sattelpunkt ist doch ein "spezieller" Wendepunkt? Warum sollte man dann nicht sein Wendeverhalten, welches ich als LR bzw RL Krümmung betitelt habe, bestimmen können? Durch die dritte Ableitung lässt sich wohl bestimmen, wie sich die Ausgangsfunktion dort verhält und was dies über den Wendepunkt oder auch Sattelpunkt aussagt. Das bedeutet nicht zwangsläufig, dass sich die Monotonie verändern muss - was bei einem Sattelpunkt auch nicht der Fall ist. Die notw. und hinreichende Bed. eines WP ist dort die zweite und dritte Ableitung. Oder irre ich mich hier?   ─   sirrheinrich 12.05.2024 um 16:04

@sirrheinrich hast du denn die Kriterien für einen Sattelpunkt herausgesucht? Dann sollte dir hinsichtlich der dritten Ableitung was auffallen … die zweite Ableitung selbst ist nicht die notwendige Bedingung eines Wendepunktes. $f''(x_0)=0$ muss für die notwendige Bed. des WP erfüllt sein. Schreibe notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema, WP oder Sattelpunkte gerne mal als Übung auf.   ─   maqu 12.05.2024 um 19:13

Aha,
Extrema: f'(x)= 0 und f''(x) ≠0
Wendepunkte: f''(x)=0 und f'''(x)≠0 und f'(x)≠0
Sattelpunkte: f''(x) =0 und f'''(x) ≠ 0 und f'(x) =0
Mittels der ersten Ableitung überprüfe ich also ob es sich um einen Wende oder Sattelpunkt handelt, da bei letzterem die Steigung bekanntermaßen 0 ist.
Mein Fehler, ich hab die Kriterien missinterpretiert.
  ─   sirrheinrich 13.05.2024 um 10:49

Gut, lediglich die Aufteilung in notw. bzw. hinr. Ist noch ausbaufähig. Man kann das so machen, aber in der Regel, wird bei der Kurvendiskussion erst nach Extrema und danach nach Wendepunkten geschaut. Wenn bei einem Sattelpunkt die erste Ableitung noch Null ist, vermutet man ja ein Extrema. Setzt man dies dann aber in die zweite Ableitung ein um auf die Art des Extremums zu prüfen und man erhält dort ebenfalls Null, so prüft man gleich ob es ein Sattelpunkt ist durch Zuhilfenahme der dritten Ableitung. Ein Wendepunkt ist damit nämlich gleich ausgeschlossen wenn die erste Ableitung ungleich Null ist.   ─   maqu 13.05.2024 um 12:25

Ich denke wir meinen das gleiche, aber ja im Abi schreib ich es vernünftiger.
Dankeschön!
  ─   sirrheinrich 13.05.2024 um 16:41

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