Zuerst einmal musst du zeigen, dass \(R\) reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, aber das denke ich weist du.

Wenn du Wurzeln von komplexen Zahlen berechnest dann benutzt man in der Regel die Exponentialdarstellung. Es sind

\(z_k=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z| e^{i(\varphi+2\pi k)}} =\sqrt[n]{|z|} e^{\frac{i(\varphi+2\pi k)}{n}}\) für \(k=0,1,\ldots, n-1\)

die \(n\)-ten Wurzeln von \(z\)

Da die vierte Wurzel hier vorgegeben ist, ist das \(n=4\) schon einmal fest. Da auch die komplexe Zahl \(z\) die gleiche ist, wenn zwei komplexe Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) in Relation stehen ist dahingehend auch \(|z|\) und \(\varphi\) fest. 

Also sollten Reflexivität und Symmetrie eigentlich schnell aufgeschrieben sein, da sich \(z_1\) und \(z_2\) dann nur in der Wahl von \(k\) unterscheiden können. Dies sollte sogar "relativ" trivial folgen. Durch das Aufschreiben selbst sollte es schnell klar werden.

Der einzige Fall indem du (wie so oft) etwas mehr prüfen muss, ist die Transitivität. Gelten \(z_1 R z_2\) und \(z_2 R z_3\), dann gibt es ja zwei komplexe Zahlen \(z,z' \in \mathbb{C}\), so dass \(z_1\) und \(z_2\) jeweils 4-te Wurzeln von \(z\) sind bzw. \(z_2\) und \(z_3\) vierte Wurzeln von \(z'\) sind. Die einzige Schwierigkeit besteht in der Transitivität zu folgern, dass \(z\) gleich \(z'\) sein muss. Ich würd immer über die Formel der \(n\)-ten Wurzel argumentieren und schauen, welche Parameter sich gleichen müssen. Versuche deine Argumentation dahingehend einfach mal zu Papier zu bringen und dabei die Formel zur Begründung zu nutzen. 

Die Äquivalenzklasse sind dann dementsprechend alle komplexen Zahlen \(\omega \in \mathbb{C}\), die für ein \(z\in \mathbb{C}\) vierte Wurzeln sind. Versuche das mal in Mengenschreibweise auszudrücken.

Du kannst deine Überlegungen oder Notizen gerne mit hochladen und dann schauen wir weiter. Aber versuchs erstmal selbst aufzuschreiben getreu dem Motto "Durch die Hand in den Verstand".

Hoffe ich konnte dir einen Ansatz geben.