Komplexe Zahlen und Relationen

Aufrufe: 511     Aktiv: 02.01.2021 um 11:56

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Frohes neues Jahr zusammen, ich habe echt Schwierigkeiten bei solchen Aufgaben, wenn eine Menge mit Zahlen gegeben ist, kann ich nachweisen, ob es eine Äquivalenzrelation ist. 
Aber im Zusammenhang mit den Komplexen Zahlen, weiß ich nicht wie ich rangehe soll. 

Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen.

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Zuerst einmal musst du zeigen, dass \(R\) reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, aber das denke ich weist du.

Wenn du Wurzeln von komplexen Zahlen berechnest dann benutzt man in der Regel die Exponentialdarstellung. Es sind

\(z_k=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z| e^{i(\varphi+2\pi k)}} =\sqrt[n]{|z|} e^{\frac{i(\varphi+2\pi k)}{n}}\) für \(k=0,1,\ldots, n-1\)

die \(n\)-ten Wurzeln von \(z\)

Da die vierte Wurzel hier vorgegeben ist, ist das \(n=4\) schon einmal fest. Da auch die komplexe Zahl \(z\) die gleiche ist, wenn zwei komplexe Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) in Relation stehen ist dahingehend auch \(|z|\) und \(\varphi\) fest. 

Also sollten Reflexivität und Symmetrie eigentlich schnell aufgeschrieben sein, da sich \(z_1\) und \(z_2\) dann nur in der Wahl von \(k\) unterscheiden können. Dies sollte sogar "relativ" trivial folgen. Durch das Aufschreiben selbst sollte es schnell klar werden.

Der einzige Fall indem du (wie so oft) etwas mehr prüfen muss, ist die Transitivität. Gelten \(z_1 R z_2\) und \(z_2 R z_3\), dann gibt es ja zwei komplexe Zahlen \(z,z' \in \mathbb{C}\), so dass \(z_1\) und \(z_2\) jeweils 4-te Wurzeln von \(z\) sind bzw. \(z_2\) und \(z_3\) vierte Wurzeln von \(z'\) sind. Die einzige Schwierigkeit besteht in der Transitivität zu folgern, dass \(z\) gleich \(z'\) sein muss. Ich würd immer über die Formel der \(n\)-ten Wurzel argumentieren und schauen, welche Parameter sich gleichen müssen. Versuche deine Argumentation dahingehend einfach mal zu Papier zu bringen und dabei die Formel zur Begründung zu nutzen. 

Die Äquivalenzklasse sind dann dementsprechend alle komplexen Zahlen \(\omega \in \mathbb{C}\), die für ein \(z\in \mathbb{C}\) vierte Wurzeln sind. Versuche das mal in Mengenschreibweise auszudrücken.

 

Du kannst deine Überlegungen oder Notizen gerne mit hochladen und dann schauen wir weiter. Aber versuchs erstmal selbst aufzuschreiben getreu dem Motto "Durch die Hand in den Verstand".

 

Hoffe ich konnte dir einen Ansatz geben.

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Kannst du mir mal aufschreiben wie deine Lösung aussehen würde?   ─   xxstudentxx 02.01.2021 um 08:29

@mikn ah ok, hatte ich mir auch erst gedacht, aber vermutet das dies "zu einfach" wäre und man über die Exponentaildarstellung argumentieren solle
@xxstudentxx also was @mikn meint ist: für \(z_1, z_2 \mathbb{C}\) gilt für ein \(z\in \mathbb{C}\):
\(z_1 R z_2 \quad \Leftrightarrow \quad z_1^4=z\) und \(z_2^4=z\)
Jetzt prüfst du deine Eigenschaften:
(i) Reflexivität: Sei \(z_1 \in \mathbb{C}\), so dass \(z_1^4=z\) für ein \(z\in \mathbb{C}\) erfüllt ist. Damit gilt trivialerweise \(z_1 R z_1\)
(ii) Symmetrie: Seien \(z_1,z_2 \in \mathbb{C}\), so dass \(z_1 R z_2\) erfüllt ist. Dann gelten für ein \(z\in \mathbb{C}\) ...... (es muss \(z_2 R z_1\) folgen)
(iii) Transitiv: Seien \(z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}\), so dass sowohl \(z_1 R z_2\) als auch \(z_2 R z_3\) erfüllt sind. Dann gelten für \(z,z'\in \mathbb{C}\) ...... (es muss nun \(z_1 R z_3\) folgen)
Damit habe ich dir eigentlich die halbe Arbeit schon gemacht.

Für die Äquivalenzklasse überlegst du dir, wie du meinen Satz oben in eine mengentheoretische Formel packen kannst, bloß ohne die Formel der Exponentialdarstellung sondern mit der Gleichung die gelten soll (wie @mikn meinte). Also für \(z\in \mathbb{C}\) ist \([z]=\{ ..... \mid .......\}\) die zugehörige Äquivalenzklasse.
  ─   maqu 02.01.2021 um 11:31

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