Da du so viele Markierungen hast, weiß ich nicht genau, welche Umformung du meinst

Meinst du das einsetzen des roten Terms?

Das ist quasi genau der Induktionsschritt.

bei (3) willst du ja die Summe von i =1 bis i = (n + 1) errechnen. Diese Summe spaltest du ja am anfang davon auf in die (Summe von i = 1 bis i = n) + (k = n+1)
Im anschließenden Schritt hat man die 1/2² ebenfalls ausgeklammert um aus dem Term innerhalb der Klammer eine binomische Formel zu bilden.

Beim Weiß-gelblich markierten:

Das ist im Grunde das Ausklammern von (n+2)².
Da der Teil in beiden Termen vorkommt, kann man ihn bei beiden rausnehmen und sie damit multiplizieren.
Beim ausmultiplizieren käme der vorherige Schritt wieder heraus.

Der Trick bei vollständiger Induktion ist eigentlich, dass du am Anfang des Induktionsschritts schon genau weißt, was am Ende herauskommen soll und du nurnoch dahin umformen musst, sodass dein Term am Ende genauso aussieht.