Rechtstotal, Linkstotal, irreflexiv usw Betragsgleichung

Erste Frage Aufrufe: 57     Aktiv: 24.06.2021 um 09:09

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Hallo zusammen, 

ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich bei dieser Art von Fragen vorgehen soll, insbesondere da es sich um eine Betragsgleichung handelt. 


Hier die Frage: 
Auf der Menge Z der ganzen Zahlen sei die folgende Relation Rel definiert: 
Rel = {(x,y) ∈ Z x Z | |x+y|=2}
Welche der Eigenschaften linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig, rechtseindeutig, irreflexiv,
symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv hat die Relation? Begründen Sie ihre
Entscheidungen für oder gegen die Eigenschaften jeweils.

Wir brauchen keine vollständigen Beweise. Bei Nichtzutreffen reicht auch schon ein Gegenbeispiel. Aber bei Betragsgleichungen weiß ich leider nicht einmal wo ich anfangen soll. 
Die Begriffe an sich versteh ich natürlich!


Wie fange ich am besten an? 

DANKE!!!!


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Student, Punkte: 20

 
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1 Antwort
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Das ist eigentlich sehr einfach, wenn man alle Begriffe versteht. Ich mach mal ein paar Beispiele:
  • Linkstotal: Gibt es zu jedem \(x\in\mathbb Z\) ein \(y\in\mathbb Z\) mit \((x,y)\in Rel\), d.h. mit $|x+y|=2$? Ja klar, z.B. $y=2-x$ funktioniert.
  • Rechtseindeutig: Nein, denn $(0,-2),(0,2)\in Rel$.
  • Symmetrisch: $(x,y)\in Rel\Longrightarrow |x+y|=2\Longrightarrow|y+x|=2\Longrightarrow (y,x)\in Rel$
und so weiter. Was verunsichert dich denn so an Beträgen? Das ist doch ein recht einfaches Konstrukt.
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ich glaub ich blocke einfach ab, wenn ich nicht sofort erkenne, wie man rechnen. hab es mir jetzt noch einmal genauer angeguckt und muss wirklich zugeben, dass es einfacher ist, als ich dachte.
meine Lösung insgesamt ist (kurzgefasst:
die Relation ist linkstotal, rechtstotal, nicht linkseindeutig, nicht rechtseindeutig,
sie ist irreflexiv
R ist symmetrisch
nicht antisymmetrisch
nicht transitiv


Wie würde man eigentlich eine vorliegende Antisymmetrie beweisen? ich habe jetzt hier einfach ein Gegenbeispiel gezeigt, was das widerlegt.
aber wie gehe ich vor, wenn ich das vllt auch nicht auf Anhieb erkenne oder eben doch tatsächlich mal antisymmetrie vorliegt?
  ─   danielainformatik 23.06.2021 um 13:07

Alles richtig, außer irreflexiv: Es ist $(1,1)\in Rel$.

Antisymmetrie beweist man meistens, indem man annimmt, dass $(x,y)$ und $(y,x)\in Rel$ und dann zeigt, dass $x=y$. Beispiel: Sei $R=\{(x,y)\in\mathbb N^2, x\text{ teilt }y\}$. Nimm nun an, dass $(x,y),(y,x)\in R$, dann folgt $x$ teilt $y$ und $y$ teilt $x$, d.h. es gibt $k_1,k_2\in\mathbb N$ mit $y=k_1x$ bzw. $x=k_2y$, also $y=k_1k_2y$, d.h. $k_1k_2=1$, was in den natürlichen Zahlen nur für $k_1=k_2=1$ erfüllt sein kann, also ist $x=y$ und $R$ antisymmetrisch.
  ─   stal 23.06.2021 um 13:49

Danke. das hilft sehr weiter
noch eine Frage hätte ich :)

wie geht man bei Teilbarkeitsrelationen vor? also beispielsweise 2 teilt x*y
wie beweist man dann hier linkstotalität usw. oder was ist zumindest der erste schritt

danke sehr schon mal
  ─   danielainformatik 24.06.2021 um 01:14

Das Vorgehen ist eigentlich immer das gleiche, unabhängig von der Relation. Wenn die beweisen willst, dass eine Relation $R\subseteq N^2$ linkstotal ist, beginnst du mit: "Sei $x\in N$, wir müssen ein $y\in N$ finden mit $(x,y)\in R.$" Und erst an dieser Stelle kommt die spezielle Relation ins Spiel, bei der Wahl des passenden $y$. Hier kannst du einfach $y=2$ für alle $x$ wählen, denn $x\cdot 2$ ist sicher gerade, also durch $2$ teilbar, und somit ist $(x,2)\in R$. Genauso bei den anderen Eigenschaften, das Vorgehen bleibt immer gleich. Bei dieser Relation hilft dir zur Intuition vielleicht noch folgende Überlegung: $xy$ ist genau dann gerade, wenn $x$ gerade oder $y$ gerade ist.   ─   stal 24.06.2021 um 09:09

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