Ihr seid unterwegs vom Weg abgekommen.

1. Lösen der hom. Rekursion: Dazu bestimmt man die Nullstellen des char. Polynoms, hier von \(p(x)=x^2-4\), also (das habt Ihr schon): 2 und .-2.

Die allg. Lsg der hom. Rekursion (also von \(t_n =4\,t_{n-2}\)), ohne Rücksicht auf Startwerte lautet dann:

\( h_n=a\,2^n+b\,(-2)^n\) mit (zunächst) beliebigem \(a,b\).

2. Finden einer(!) Lösung der inhom. Rekursion (immer noch ohne Startwerte):

Wir probieren mit Blick auf die rechte Seite mal den Ansatz \(p_n = c\, n+d\,3^n +e\).

\(c,d,e\) werden nun so bestimmt, dass die Rekursion (ohne Startwerte) erfüllt ist:

Ansatz einsetzen in \(p_n - 4\,p_{n-2} =n+3^n\) und dann Koeffizientenvergleich (Koeffizienten von \(n,3^n\) und konstanter Term). Gibt ein LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Lösungen: \(c=-\frac13,\, d=\frac95,\, e=-\frac89\)

3. Zusammensetzen: Allg. Lsg der Rekursion (ohne Startwerte) ist damit

(Muster: allg. Lsg. der hom. Rekursion + part. Lsg):

\( t_n = h_n +p_n\).

In \(h_n\) stecken noch die zwei Unbekannten \(a, b\). Diese bestimmt man so, dass die Startwerte erfüllt sind (LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten). Ergibt \( a = -\frac34,\, b=-\frac{29}{180}\)

Endergebnis:

\( t_n =-\frac34\,2^2 -\frac{29}{180}\,(-2)^n -\frac13 n+\frac95 3^n -\frac89\)

PS: Probe ist am Ende sinnvoll, ob alles stimmt. Und schöne Aufgabe für Teamwork, weil Schritt 1 und 2 oben gleichzeitig gemacht werden können.

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