Hammeraufgabe: Integralrechnung (Studium)

Aufrufe: 821     Aktiv: 21.04.2020 um 21:44

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Diese "Hammeraufgabe" stellt mich wirklich vor Probleme. Ich habe nichtmal einen Ansatz. 

 

 

 

 

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Im Endeffekt musst du ja nur in die gegebenen Gleichungen einsetzen. Dazu benutzt du als Grenzen \(a\) und \(b\) eben die Grenzen der Periode.

Bei der oberen Funktion wäre es villeicht ratsam, die Funktion in zwei Teile aufzuteilen, den konstanten Teil und den linearen Teil. Dann kannst du auch das Integral getrennt bestimmen.

Du erhälst \(a=-t_0\) und \(b=2t_0\)

\(b-a=3t_0\)

\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}&c&\text{für} &-t_0\leq x <0\\&-\frac{c}{2t_0}x+c&\text{für}&0\leq x\leq2t_0\end{array}\right.\)

Somit ist

\(\int\limits_{-t_0}^{2t_0}f(x)dx=\int\limits_{-t_0}^{0}f(x)dx+\int\limits_{0}^{2t_0}f(x)dx=\int\limits_{-t_0}^{0}c~dx+\int\limits_{0}^{2t_0}\left( -\frac{c}{2t_0}x+c \right)dx=t_0c+t_0c=2ct_0\)

\(\overline{f(x)}=\frac{1}{3t_0}\cdot2ct_0=\frac{2}{3}c\)

Hier auch die graphische Repräsentation für dich zum ausprobieren: https://www.desmos.com/calculator/ahzxcer9lu

Hoffe du kommst bei den anderen alleine zu recht

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Also zum normalen Mittelwert: Einfach das Integral über eine Periode ausrechnen und durch die Intervalllänge teilen. Bei der ersten Funktion geht das am besten elementargeometrisch über die Flächeninhalte, die zweite Funktion ist eine quadratische Funktion, die sich leicht integrieren lässt.

Für den Betragsmittelwert musst du den Betrag der Funktionen nehmen. Da beide Funktionen nirgendwo negative Werte haben, ist das hier genau das gleiche wie beim linearen Mittelwert.

Für den quadratischen Mittelwert musst du die Funktion quadrieren. Bei der ersten machst du das abschnittsweise, dafür musst du die Funktion erstmal abschnittsweise durch Funktionsterme beschreiben. Bei der zweiten Funktion musst du einfach den angegebenen Funktionsterm quadrieren. Zum Integrieren musst du die Klammer ausmultiplizieren.

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