Es geht um eine Frage aus der Masstheorie bzw. Analysis 3

Aufrufe: 285     Aktiv: 20.11.2022 um 19:59
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Untersuchen Sie die Existenz bzw. bestimmen Sie den Wert des Intrgrals \(\int\) f d\(\mu\) der Fkt. f:[0,3]---> \(\mathbb{R}\),    f(x)=x-1 bzgl.des Maßes \(\mu\):F--> 
[0,\(\infty\)] auf dem messbaren Raum ([0,3],F) für:
a) F=P([0,3]) und \(\mu\)=\(\delta\)_{2}, das in x = 2 konzentrierte Diracmaß.
b) F=P([0,3]) und \(\mu\)=\(\zeta\), das Zählmaß
c) F=B([0,3]) und \(\mu\)=\(\lambda\), das Lebesguemaß. Benutzen SIe dafür kein Riemann Integral, sondern die Definition des Lebesgue Integrals einer messbaren Funktion.
Ich kenn zwar die Definitionen sowohl des Diracmaßes , des Zählmaßes als auch des Lebesgue Integrals. bräuchte aber Tipps bzw. Hinweise, die mir hier einen Einstieg ermöglichen. Ich hoffe, dass ich mich dann weiter durchfinden kann.
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Hallo

Betrachten wir mal den Massraum $([0,3], \mathcal{P}([0,3]), \delta_2)$. Wir möchten $$\int_{[0,3]} f(x) ~d\delta_2=\int_{[0,3]} (x-1)~d \delta_2$$ berechnen. 

Betrachten wir ein etwas allgemeineres Setting. Sei nun $(\Omega, \mathcal{A})$ ein Messraum und wir betrachten $f:A\rightarrow \Bbb{R}$ eine Funktion mit $A\in \mathcal{A}$. Für $z\in \Omega$ sei nun $\delta_z$ das Diracmass. Nun bemerken wir dass $$A_1\cup A_2=A\cap f^{-1}(\{f(z)\})\cup A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})=A$$ Das heisst also
$$\begin{align} \int_A f(x) d\delta_z &=\int_{A_1} f(x)~d\delta_z +\int_{A_2} f(x)~ d\delta_z \\&=\int_{\{x\in A:f(x)=f(z)\}} f(x) \delta_z+\int_{\{x\in A:f(x)\neq f(z)\}} f(x) \delta_z \end{align}$$Kannst du nun weitermachen? Versuche eine allgemeine Formel zu finden für das Integral nach dem Diracmass. Dann kannst du dein Beispiel so lösen.

Hier noch eine kleine Bemerkung: $f^{-1}(\{f(z)\})\in \mathcal{A}$.
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Ich denke, ich bin jetzt ein bisschen weitergekommen. Auf jeden Fall vielen Dank für diese Denkanstöße.   ─   atideva 14.11.2022 um 20:04
super kein Problem, du darfst dein Ergebnis aber gerne auch posten   ─   karate 14.11.2022 um 20:09
Das wird hier noch dauern. Ich muss hier noch etwas herumdoktern!   ─   atideva 14.11.2022 um 20:14
kein Problem, es ist nicht mehr weit bis zum Ziel. Und wenn du nicht weiterkommst melde dich
   ─   karate 14.11.2022 um 20:42
Ich mache jetzt mal Vorschläge. Da ja beim Diracmass gilt, entweder z.B, 1,2 oder eine Gleichung, ansonsten 0, könnte ich mir vorstellem, dass bei f(x) =x-1, für x = 3 , 3-1 =2, ansonsten 0, Beim Zählmass müsste dann eigentlich entweder 3 ansonsten 0 da stehen. Bei c ) ist mir das nicht ganz klar, einerseits habe ich erst gestern in der VL gehört, dass wir noch nicht mit dem Lebesgue Integral integrieren können, das kommt erst noch, es geht aber wie das Riemann Integral, andererseits ist das Diracmass ja nur nicht Riemann integrierbar. Hier ist also schon noch Unsicherheit bei mir da   ─   atideva 15.11.2022 um 19:33
Noch eine ganz andere Frage, die jetzt nichts mit der Masstheorie zu tun hat. Warum nennt man in der Gruppentheorie die Verknüpfungen Operatoren , das neutrale Element Stabilisator. Auch frage ich mich, woher der Begriff der Bahngleichung kommt usw.   ─   atideva 15.11.2022 um 19:37
Ich komme nochmal auf die obige Aufgabe zurück
Bei a) ist klar, dass bei x = 3, 3-1 = 2, das konzentrierte DIracmaß ist. Unklar , wie das formel geschrieben wird. Es ist f(A= sigma Algebra) = 2, falls 3 \(\in\)A, sonst -1.

Bei b) \(\int\) _${[0,3]}$ f(x) [0,3] =\(\int\)_${[0,3]}$ =f(3) falls x = 3 , da 3 Zählmaß. ansonsten 0. Formel wird es eher nicht stimmen, das Ergebniss aber schon, glaube ich. Vielleicht kann mir ja jemand bei der Form helfen.   ─   atideva 20.11.2022 um 19:59

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