Bestimmen Sie die Dimension des Kernes einer linearen Abbildung

Aufrufe: 558     Aktiv: 22.12.2020 um 18:22
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Nabend,

mein Problem lautet folgendermaßen:

Welche Dimension hat der Kern der linearen Abbildung phi: |R^3 --> |R mit phi(x,y,z) = x+y+z?

Ich hatte mich an einer Rechnung versucht, indem ich eine erweiterte Matrix aufgestellt habe. Dabei habe ich anscheinend mehrere Verbrechen gegen die Mathematik begangen, da ich auf keine, bzw. nur eine falsche Lösung gekommen bin.

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Dein Ansatz ist grundsätzlich richtig. Wenn du deinen Rechenweg schickst, können wir gemeinsam den Fehler suchen.

In diesem Fall gibt es sogar einen Weg, der keine Rechnung erfordert: Wegen \(\varphi(x,0,0)=x\) für alle \(x\in\mathbb R\) ist \(\varphi\) surjektiv. Nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen gilt $$3=\text{dim}(\mathbb R^3)=\text{dim}(\text{ker}(\varphi))+\underbrace{\text{dim}(\text{im}(\varphi))}_{=1}$$ und damit \(\dim(\text{ker}(\varphi))=2\).

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Erstmal vielen Dank für deine Antwort.

Uns wurde mal gezeigt, dass man z.B. phi(x,y,z)=x+y+z als phi(x,y,z)*(x,y,z)^T=(100,010,001)*(x,y,z)^T darstellen kann.
Dann habe ich die erhaltene Einheitsmatrix in die erweiterte Matrizenform mit dem Nullvektor überführt, damit ich an den Kern komme.
Dann dachte ich, dass Anzahl der einzelnen, unabhängigen Gleichungen gleich die Dimension ist, obwohl das eigentlich der Rang wäre...

(ob das tatsächlich transitiv ist weiß ich nicht, aber mit ^T wollte ich nur darstellen, dass es ein Zeilenvektor sein soll)
   ─   mobiledevice1337 22.12.2020 um 18:22

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