Wie beweise ich diese Aussage über das Supremum einer Menge?

Aufrufe: 1104     Aktiv: 23.12.2020 um 14:10

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Hallo Zusammen, ich müsste folgende Aussage über die Menge A beweisen (siehe Bild). Dabei bin ich mir nicht sicher ob ich mit der Monotonie so argumentieren kann wie ich das gemacht habe. 

Wäre euch sehr dankbar um ein Feedback.

 

Vielen Dank!

 

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Super, das sieht schon gut aus! Jetzt ein Tipp zur Vereinfachung: Du hast korrekt gezeigt, dass \(\frac12\) eine obere Schranke für \(A\) ist. Da \(\frac12\in A\) gilt, ist \(\frac12\) ein Maximum, und damit auch das Supremum. Das Monotonieargument brauchst Du nicht. Analog für das Infimum.

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okei ja muss zugeben so weit habe ich gar nicht überlegt. Aber so wie ich deine Antwort interpretiere dürfte ich mit der Monotonie argumentieren, wenn jetzt z.b. die Schranke nicht in der Menge enthalten gewesen wäre.   ─   karate 22.12.2020 um 17:32

Nein, das würde nichts bringen. Du müsstest zeigen, dass die obere Schranke beliebig gut in \(A\) approximiert werden kann, dass also eine Folge in \(A\) existierte, welche gegen die obere Schranke konvergiert.   ─   slanack 22.12.2020 um 17:42

Also ich meine in einem allgemeinen Bsp. nicht in diesem hier, wenn die Elemente einer Menge streng monoton fallend sind. Darf ich dann wenn ich eine obere Schranke gefunden habe, mit der Monotonie argumentieren, um zu Zeigen, dass es die kleinste obere Schranke ist?   ─   karate 22.12.2020 um 17:50

Wenn es allgemein richtig wäre, dann müsste es ja auch in diesem konkretem Beispiel funktionieren. Da das nicht so ist, kann es kein allgemeines Vorgehen sein. Wenn Die Folge monoton fallend ist, dann wird immer das erste Element das Supremum sein, so wie hier.
Aber natürlich kann es in speziellen Situationen vorkommen, dass Du die Monotonie einer Folge in \(A\) ausnutzt, um Konvergenz gegen eine bestimmte obere Schranke zu zeigen. Das ist für das Supremum allerding nur in der Situation einer monoton *wachsenden* Folge interessant.
  ─   slanack 22.12.2020 um 17:57

Ich hätte da doch noch eine Kurze frage. bin nun glaube ich genau an so ein, von dir beschriebenes Problem, angelangt. Denn ich habe nun eine Menge A={(3x)/(x+2), x>0}. aber hier darf ich nun zeigen dass die folge \(a_x=(3x)/(x+2)\) streng monoton wachsend ist und dann daraus folgern dass \(inf(A)=lim(x->0+)(3x)/(x+2) \)ist und \(sup(A)= lim(x->∞) (3x)/(x+2)\) ist. ohne einen weiteren Beweis zu machen. (natürlich ist mir klar, dass ich auch mit den "normalen" Schritten die Lösungen bekommen würde, wäre aber cool mehrere Lösungsvarianten zu sehen.   ─   karate 22.12.2020 um 22:13

Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie viel Ihr beweisen sollt. Ich gebe Dir mal eine ausführliche Beweisstruktur, deren Lücken Du dann nach Bedarf füllst. Ich setze \(f(x):=\frac{3x}{x+2}\) für \(x>0\). Zeige nacheinander: (a) \(f\) ist streng monoton wachsend (b) \(0=\lim_{x\to0+}f(x)\) (c) \(0\) ist eine untere Schranke von \(A\) (d) Für alle \(\varepsilon>0\) existiert \(x\in A\) mit \(f(x)\le\varepsilon\) (e) \(3=\lim_{x\to\infty}f(x)\) (f) \(3\) ist eine obere Schranke von \(A\) (g) Für alle \(\varepsilon>0\) existiert \(x\in A\) mit \(f(x)\ge 3-\varepsilon\). Dann hast Du gezeigt: \(\inf(A)=0,\ \sup(A)=3\). Bei (c) und (f) kannst Du die Monotonie von \(f\) ausnutzen für einen einfachen Beweis. Für die anderen Punkte spielt sie keine Rolle.   ─   slanack 23.12.2020 um 12:27

aha also darf ich auch hier nicht direkt aus dem lim schliessen, dass sup(A)=3 und inf(A)=0   ─   karate 23.12.2020 um 13:11

Nein aus dem Grenzwert allein kann man nie das Supremum/Infimum schließen. Beispiel: \(\frac{(-2)^n }n\) konvergiert gegen \(0\), dies ist hier aber nicht das Supremum oder Infimum. Hierbei ist es nämlich noch von elementarer Bedeutung die Monotonie zu betrachten.   ─   anonym0165f 23.12.2020 um 13:23

Aber wenn ich dann die Monotonie gezeigt habe und dann den Grenzwert zeige, darf ich dann immer noch nicht diesen als sup oder inf ansehen?   ─   karate 23.12.2020 um 13:37

Doch das darfst du. Schau dir mal das Monotoniekriterium für Folgen an, insbesondere den Beweis. Im Beweis siehst du das der Grenzwert auch das Supremum ist   ─   anonym0165f 23.12.2020 um 13:40

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Achtung! Dies kannst du aber nur für isotone Folgen benutzen. Jedoch ist trivialerweise jede reele Folge, also eine Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die reelen, eine isotone Folge. Dies gilt aber nicht allgemein für komplexe Folgen   ─   anonym0165f 23.12.2020 um 13:45

okei aber irgendwie bin ich nun ein wenig verwirrt, denn das war ja genau meine ursprüngliche frage. Slanack hat mir dann aber sehr schön den ganzen beweis skizziert, dort macht er genau die gleichen Schritte sagt dann aber trotzdem, dass die Monotonie irgendwie doch nicht nützlich ist
  ─   karate 23.12.2020 um 13:46

In deiner ersten Frage brauchst du auch keine Monotonie. Eine obere Schranke einer Menge, die auch in selbiger Menge ist, ist nach Definition das Maximum und somit auch Supremum   ─   anonym0165f 23.12.2020 um 13:47

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Für deine zweite Frage wolltest du jedoch mit Konvergenz und Monotonie argumentieren. Dies reicht auch völlig aus, darfst du aber nur für isotone Folgen verwenden, also auch bei allen reelen Folgen, nur nicht bei allen komplexen.   ─   anonym0165f 23.12.2020 um 13:49

nein ich meine den 5. Kommentar   ─   karate 23.12.2020 um 13:49

ah okei super vielen dank für die rasche Antwort   ─   karate 23.12.2020 um 13:50

Ja die Beweisstruktur von ihm ist schon zu viel. So wie dein Gedanke war, reicht es völlig aus. Es gilt nämlich: Das Supremum einer isotonen, monotonen steigender und konvergenter Folge ist stets ihr Grenzwert. Isotonie muss du bei reelen Folgen eigentlich nicht beweisen, da es meist erst später gelehrt wird und auch für reele Folgen trivial ist.   ─   anonym0165f 23.12.2020 um 13:53

super vielen dank euch beiden!!! ist wirklich toll so kompetente antworten zu bekommen   ─   karate 23.12.2020 um 13:54

Kein Problem. Zum Abschluss empfehle ich dir noch den Beweis des Monotoniekriteriums, dann kannst du das nochmal nachvollziehen   ─   anonym0165f 23.12.2020 um 13:56

Es hängt stark davon ab, was Ihr in der Vorlesung schon gemacht habt, wieviel Du noch selber zeigen musst. Um das zu wissen, schau Dir genau an, welche Resultate Du verwenden kannst.   ─   slanack 23.12.2020 um 14:10

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