Abbildungen

Aufrufe: 60     Aktiv: 27.12.2021 um 22:06

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Nehmen wir an, wir haben ine Abbildung wischen m und n dann muss folgendes laut mir gelten:
  1. injetiv: n ist gleichmächtig oder mächtiger als m
  2. surjektiv m ist mächtiger oder mächtiger als n.
  3. bijektiv: m und n haben die gleiche Mächtigkeit
Gilt dieeser satz und falls ja auch für unendliche Mengen?
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Hallo schuler3,

ich nehme mal an, $m$ und $n$ sollen Mengen sein und die Abbildung soll eine Abbildung $f\colon m\to n$ sein und nicht etwa $g\colon n\to m$. Weiter nehme ich an, bei 2. soll es eigentlich heißen: Wenn $f$ surjektiv ist, ist $m$ gleichmächtig zu $n$ oder mächtiger als $n$. 
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Ja, diese Zusammenhänge gelten für endliche Mengen. Für nicht notwendigerweise endliche Mengen gelten sie ebenfalls, wenn man geeignete Definitionen von Begriffen wie "gleichmächtig" und "mächtiger" zur Verfügung hat und wie üblich das Auswahlaxiom der Mengenlehre annimmt..

Seien im Folgenden $M$ und $N$ beliebige Mengen.

Variante a) zur Definition der Begriffe:

Man sagt, $N$ sei gleichmächtig zu $M$, wenn eine Bijektion $f\colon M\to N$ existiert.
Die Menge $N$ heißt mindestens so mächtig wie $M$, wenn eine injektive Abbildung $f\colon M\to N$ existiert.
Die Menge $N$ heißt mächtiger als $M$, wenn sie mindestens so mächtig wie $N$ ist und nicht gleichmächtig zu $N$ ist.

Dann gilt 3. nach Definition von "gleichmächtig", die Eigenschaft 1. fast direkt nach den Definitionen.
Für 2. benötigt man das Auswahlaxiom.

Variante b) zur Definition der Begriffe:

Man verwendet die Theorie der Kardinalzahlen (spezielle Ordinalzahlen). Die Kardinalzahlen sind linear geordnet und unter Annahme des Auswahlaxioms besitzt jede Menge $K$ eine eindeutig bestimmte Kardinalzahl, zu der $K$ gleichmächtig ist (nach der Definition aus a) ). Diese Kardinalzahl nennt man die Mächtigkeit der Menge $K$. So kann man jeder Menge ähnlich wie jeder endlichen Menge eine "Zahl" als Mächtigkeit zuordnen und diese Zahlen der Größe nach vergleichen.

Viele Grüße
Tobias
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