Minimaler Abstand zweier Funktionsgraphen

Erste Frage Aufrufe: 137     Aktiv: 27.03.2022 um 10:51

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Wenn 2 Funktionen f und g gegeben sind, die keinen Schnittpunkt haben, ist es dann möglich die zwei Punkte(einer auf f und einer auf g) zu finden, die den geringsten Abstand zu einander haben? Wenn ja, wie? Mit Abstand ist hier der absute Abstand und nicht nur der senkrechte Abstand gemeint.
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1 Antwort
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Moin,
das geht in der Tat. Man stellt die Abstandsfunktion im 2D-Raum auf (\(d(x_1,x_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(f(x_1)-g(x_2)^2)}\)) auf und bildet die partielle Ableitung nach \(x_1\) und \(x_2\). Wenn beide Ableitungen gleich 0 sind hat die Abstandsfunktion ein Minimum, Maximum oder einen Sattelpunkt, das muss man dann noch per Hand überprüfen. Gleiches gilt auch für den höherdimensionalen Raum. Für mehr Infos: https://www.agrar.hu-berlin.de/de/institut/departments/daoe/apol/mitarbeiter/KJ/Matrix/optimierung-multivariabler-funktionen.pdf.
Als Beispiel habe ich das ganze gerade für die Funktionen \(f(x)=x\) und \(g(x)=x^2+1\) gerechnet. Man kommt nach nicht zu viel Rechenarbeit auf die richtige Lösung.
LG
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einfacher geht es mit der Funktion \(f(x_1,x_2)=d^2(x_1,x_2)\)   ─   matx 25.03.2022 um 19:28

Nicht wirklich. Letztendlich muss man \((x_1-x_2)^2+(f(x_1)-g(x_2))^2\) nach \(x_1\) und \(x_2\) ableiten und 0 setzen. Daran ändert auch das quadrieren nichts.   ─   fix 25.03.2022 um 19:43

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Man spart sich einmal die Kettenregel, in einer Klausur macht das schon Sinn   ─   mathejean 26.03.2022 um 09:42

Danke für die Antwort!   ─   user02aec4 27.03.2022 um 10:51

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