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Die Surjektivität und Bijektivität habe ich nach langem bei Funktion begriffen. Es ist jetzt durchaus möglich, dass ich bei den Vektorräumen Begriffe durcheinanderbringe. Mir ist es jetzt wichtig, diese Begriffe bei Vektorräumen so gut es geht zu begreifen. Ich hoffe, das jemand in der Lage ist mir das in irgendeiner Form etwas näher zu bringem.
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Ein Vektorraumhomomorphismus $\varphi\colon V\to W$ zwischen zwei Vektorräumen wird üblicherweise lineare Abbildung genannt und ist charakterisiert durch $$\varphi(v_1+v_2) = \varphi(v_1) + \varphi(v_2),\ \varphi(\lambda v) = \lambda\varphi(v)$$

Eine bijektive lineare Abbildung nennt man einfach Isomorphismus (von Vektorräumen). Eine lineare Abbildung (wie oben) ist surjektiv wenn $\operatorname{im} \varphi = W$ und injektiv wenn $\ker \varphi = 0$, d.h. wenn der Kern der triviale Vektorraum ist. 


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Student, Punkte: 780

 

Könntest Du mir ein praktisches Beispiel sowohl für den Homomorphismus als auch für den Isomorphismus geben, sofern es nicht zu aufwendig ist.   ─   atideva 13.03.2022 um 12:15

Jede $m\times n$-Matrix repräsentiert eine lineare Abbildung $\mathbb R^n\to \mathbb R^m$. Jede invertierbare $n\times n$-Matrix repräsentiert einen Isomorphismus zwischen $n$-dimensionalen Vektorräumen. Die Dimension ist eine Vektorraum-Invariante, d.h. zwei Vektorräume von unterschiedlicher Dimension können nie isomorph sein.   ─   zest 13.03.2022 um 12:19

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