Ableitung berechnen?

Aufrufe: 77     Aktiv: 19.08.2021 um 22:03

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Hallo,

ich habe hier ein Integral gegeben mit:

\(I = \int\limits_{x_1}^{x_2}F(y+\varepsilon \eta ,y'+\varepsilon \eta ',x)dx\)

In dem Buch, das ich gerade anschaue, steht dann Folgendes:

\(\frac{dI}{d\varepsilon}|_{\varepsilon = 0} = \int\limits_{x_1}^{x_2}[\eta \frac{\partial F}{\partial y}+\eta '\frac{\partial F}{\partial y'}]dx\)

Kann mir jemand erklären, wie man diese Ableitung berechnet?

Danke im Voraus
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Man leitet I ab, indem man den Integranden ableitet. Das geht nach den üblichen Regeln für Funktionen mehrerer Veränderlicher, insb. der Kettenregel. Also F nach erster Variablen nach eps mal zugehörige innere Ableitung plus F nach zweiter Variablen nach eps mal zugehörige innere Ableitung. F nach dritter Variablen ist hier =0, ist ja kein eps drin.
Also $\frac{\partial F}{\partial y} (y+\varepsilon \eta) \cdot \eta +...$. Danach wird noch eps=0 eingesetzt.
Die Schreibweise y' bei Gleichungen mit Ableitungen finde ich didaktisch daneben, und die Argumente wegzulassen im zweiten Schritt ist auch nicht hilfreich.
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Vielen Dank für die Erklärung!   ─   mrxxn 19.08.2021 um 16:01

Die Schreibweise $F(y,y',\ldots,x)$ findet man aber tatsächlich recht häufig bei DGLen. In der Regel ist dann aber auch irgendwo vermerkt, dass das Argument der Übersicht halber weggelassen wird.   ─   cauchy 19.08.2021 um 21:45

Ja, der Übersicht halber kann man vieles machen. Dass das den Anfänger verwirrt, nimmt man dann in Kauf. Muss nicht sein, finde ich.   ─   mikn 19.08.2021 um 21:57

Es kommt immer darauf an, an wen das Buch gerichtet ist und wie diese Gleichungen im Kontext stehen. Das ist aber schwierig zu beurteilen, wenn man das Buch nicht kennt. Sonst hast du natürlich grundsätzlich Recht.   ─   cauchy 19.08.2021 um 22:03

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