Hallo Zusammen

 

Wir haben in der Vorlesung folgenden Satz betrachtet:

 

Sei \((M,T)\) ein topologischer Raum und \(A\subset M\).

Der Abschluss \(A^{cl}\) von A ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge, die A enthält.

 

Leider haben wir diesen Satz nicht bewiesen, trotzdem würde ich das gerne mal versuchen, also zumindest zeigen dass \(A^{cl}\) abgeschlossen ist. Dabei hätte ich das wie folgt gemacht:

 

Beweis:

\(A^{cl}\) abgeschlossen ist äquivalent zur aussage dass \(M\setminus A^{cl}\) offen ist, aber das ist äquivalent zur aussage dass \(M\setminus A^{cl}\) eine Umgebung von all ihren Punkten ist.

Wir wählen also \(p\in (M\setminus A^{cl})=(M\setminus A)^\circ\). Daraus folgt aber dass \(M\setminus A\) eine Umgebung von p ist, also \(M\setminus A\in U(p)\) wobei \(U(p)\) die Menge aller Umgebungen von p bezeichnet. Das bedeutet aber, dass $$\exists O\,\,\,offen

\,\,\,s.d.\,\,\,p\in O\subset M\setminus A$$ Nun müssen wir nur noch zeigen, dass \(O\subset (M\setminus A)^\circ\). 

Dafür wählen wir \(q\in O \subset M\setminus A\), das bedeutet aber dass $$(M\setminus A)\in U(q)\,\,\,\forall q\in O$$ Daraus folgt dass \(q\in (M\setminus A)^\circ\) und daher \(O\subset (M\setminus A)^\circ\).

 

Meines Erachtens wäre ich hier fertig, bezüglich der Abgeschlossenheit, aber ich denke nicht dass das so stimmen wird. Könnte sich das vielleicht mal jemand anschauen?

 

 

Vielen Dank und liebe Grüsse!