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Hallo Zusammen
 
Wir haben in der Vorlesung folgenden Satz betrachtet:
 
Sei \((M,T)\) ein topologischer Raum und \(A\subset M\).
Der Abschluss \(A^{cl}\) von A ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge, die A enthält.
 
Leider haben wir diesen Satz nicht bewiesen, trotzdem würde ich das gerne mal versuchen, also zumindest zeigen dass \(A^{cl}\) abgeschlossen ist. Dabei hätte ich das wie folgt gemacht:
 
Beweis:
\(A^{cl}\) abgeschlossen ist äquivalent zur aussage dass \(M\setminus A^{cl}\) offen ist, aber das ist äquivalent zur aussage dass \(M\setminus A^{cl}\) eine Umgebung von all ihren Punkten ist.
Wir wählen also \(p\in (M\setminus A^{cl})=(M\setminus A)^\circ\). Daraus folgt aber dass \(M\setminus A\) eine Umgebung von p ist, also \(M\setminus A\in U(p)\) wobei \(U(p)\) die Menge aller Umgebungen von p bezeichnet. Das bedeutet aber, dass $$\exists O\,\,\,offen
\,\,\,s.d.\,\,\,p\in O\subset M\setminus A$$ Nun müssen wir nur noch zeigen, dass \(O\subset (M\setminus A)^\circ\). 
Dafür wählen wir \(q\in O \subset M\setminus A\), das bedeutet aber dass $$(M\setminus A)\in U(q)\,\,\,\forall q\in O$$ Daraus folgt dass \(q\in (M\setminus A)^\circ\) und daher \(O\subset (M\setminus A)^\circ\).
 
Meines Erachtens wäre ich hier fertig, bezüglich der Abgeschlossenheit, aber ich denke nicht dass das so stimmen wird. Könnte sich das vielleicht mal jemand anschauen?
 
 
Vielen Dank und liebe Grüsse!
 
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Ich finde es interessant, dass das als Satz formuliert wurde. Ich kenne das nämlich nur als die Definition vom Abschluss. Der Abschluss einer Menge $A\subset M$ ist der Schnitt aller abgeschlossenen Teilmengen aus $M$, die $A$ enthalten, womit $A^{cl}$ selbst abgeschlossen ist und die kleinste abgeschlossene Menge ist, die $A$ enthält.   ─   cauchy 29.09.2021 um 21:16

ja wir hatten das als Satz. Fand ich auch komisch da es in jedem Buch eigentlich genau die Definition ist.   ─   karate 29.09.2021 um 21:29
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1 Antwort
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Der Abschluss $\overline A$ einer Teilmenge $A\subseteq X$ eines top. Raums ist doch bereits per Definition die kleinste abgeschlossene Teilmenge, die $A$ noch enthält.
 
Es ist $$\overline A := \bigcap_{A\subseteq V} \{V \subseteq X \mid V\ \text{abgeschlossen}\}$$
 
Sei $\mathcal V $ die Familie aller abgeschlossenen Teilmengen $V\subseteq X$ die $A$ enthält, d.h. $A\subseteq V\quad \forall V\in \mathcal V$.
 
Dann kannst du obige Definition von $\overline A$ auch schreiben als $$\overline A = \bigcap_{V\in \mathcal V} V$$
 
Angenommen es existiert eine noch kleinere abgeschlossene Teilmenge $B\subseteq X$, die $A$ enthält, d.h. $A\subseteq B\subsetneq \overline A$. Da $B$ abgeschlossen ist und $A$ enthält, ist $B\in \mathcal V$. Dann ist aber $\overline A\subseteq B$, also widerspruch zur Annahme.
 
Ganz allgemein: Betrachtest du das Mengensystem aller Mengen, die eine Eigenschaft $\mathcal P$ erfüllen und bildest den Schnitt über all diese Mengen, so liefert das die kleinste Menge die die Eigenschaft $\mathcal P$ noch erfüllt. Natürlich immer unter der Voraussetzung, dass die Eigenschaft $\mathcal P$ invariant unter Bildung von Schnitten ist.
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