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Ich bin beim üben über folgende Aufgabenstellung gestolpert:
"Was besagt die Funktionalgleichung für die komplexe Expotentialgleichung exp(z) ?"

Bin bei meiner Recherche darauf gestoßen:
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gefragt

 

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Hallo,

ich bin mir nicht 100% sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe. Meinst du, wie man die Exponentialfunktion \( e^z\) mit \( z \in \mathbb{C} \) definiert?
Für gewöhnlich nutzt man dafür die Reihendarstellung der Exponentialfunktion, also
$$ e^z = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!} $$
so kann man dann die relle Exponentialfunktion auf die komplexen Zahlen erweitern. Ist es das wonach du gesucht hast?

Grüße Christian
  ─   christian_strack 22.02.2021 um 12:50

Als Ergänzung werde ich es mit notieren. Danke!   ─   tomtreppengeländer 22.02.2021 um 14:52

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1 Antwort
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Unter einer Funktionalgleichung versteht man Gleichungen der Form $$\Phi(x+y)=\Phi(x)+\Phi(y)$$ oder $$\Phi(xy)=\Phi(x)+\Phi(y)$$ oder auch andere, also Gleichungen in denen die gesuchte Funktion mit unterschiedlichen Argumenten auftaucht. Die zugehörige Funktionalgleichung für die (komplexe) Exponentialfunktion ist $$\Phi(x+y)=\Phi(x)\Phi(y), $$ denn es gilt \(\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\), das heißt \(\exp\) löst die Funktionalgleichung.
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Vielen Dank! Genau das war es was ich brauchte.
  ─   lisasch 22.02.2021 um 14:50

Schön, dass es auch anderen hilft.   ─   tomtreppengeländer 22.02.2021 um 14:51

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