Ich bin über folgende Übungsaufgabe zu komplexen Winkelfunktionen gestoßen wo ich nicht weiter komme. Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?

Es sei `x=Re z` und `y=Im z`. Man zeige:

\(cot(z) = \frac{sin(2x) - i*sinh(2y)} {cosh(2y) - cos(2x)}\)

Mein Ansatz war

\(cot(z) = \frac{cos(z)} {sin(z)} = \frac{cos(x+iy)} {sin(x+iy)} =\frac{cos(x)*cosh(y)-i*sin(x)*sinh(y)} {sin(x)cosh(y) + i*cos(x)*sinh(y)} \)

Hier geht’s bei mir leider nicht mehr weiter. Könnt Ihr mir helfen?

Ok, nachdem mir hier keiner einen Tipp gegeben hat, habe ich mich selbst noch mehrere Male drangesetzt und heute die Lösung gefunden. Da man seine Fragen nicht selbst beantworten kann für alle die es interessiert hier also die Antwort in der Frage. Vielleicht kann jemand eine pseudo Antwort geben damit die Statistik stimmt oder mich auf eventuelle Abschreibfehler hinweist. Der entscheidende Hinweis kam beim Gucken eines Videos zur komplexen Mathematik. Bei komplexen Zahlen im Nenner konjungiert komplex erweitern!

\(\frac{cos(x)*cosh(y)-i*sin(x)*sinh(y)} {sin(x)cosh(y) + i*cos(x)*sinh(y)} * \frac{sin(x)cosh(y) - i*cos(x)*sinh(y)}{sin(x)cosh(y) - i*cos(x)*sinh(y)}\)

Das gibt dann (jede Menge):

\( \frac{sin(x)*cos(x)*cosh(y)^2 - i*cos(x)^2*sinh(y)*cosh(y) - i*sin(x)^2*sinh(y)*cosh(y) - sin(x)*cos(x)*sinh(y)^2}{sin(x)^2*cosh(y)^2 + cos(x)^2*sinh(y)^2}\)

Ok, nun den Zähler sortieren und ausklammern und im Nenner sin(x) und sinh(y) ersetzen:

\( \frac{sin(x)*cos(x)(cosh(y)^2 - sinh(y)^2) - i*sinh(y)*cosh(y)(sin(x)^2 + cos(x)^2)}{(1 - cos(x)^2)*cosh(y)^2 + cos(x)^2*(cosh(y)^2 - 1)} \)

Toll, nun sind im Zähler 2 Faktoren =1 Nämlich: \((cosh(y)^2 - sinh(y)^2) und  (sin(x)^2 + cos(x)^2) \)

Jetzt erweitern wir mit 2 und multiplizieren den Nenner aus:

\( \frac{2*sin(x)*cos(x) - i*2*sinh(y)*cosh(y)}{2*cosh(y)^2 -2*cos(x)^2*cosh(y)^2 + 2*cos(x)^2*cosh(y)^2 - 2*cos(x)^2} \)

Super, im Nenner fällt die Hälfte weg und im Zähler kommen wir ganz entspannt auf 2x und 2y:

\(\frac{sin(2x) - i*sinh(2y)}{2cosh(y)^2 - (2*cos(x)^2)}\)

Ich hab im Nenner mal das "-" geklammert weil jetzt der letzte Kniff kommt. Ich addiere +1 und -1. Wenn die +1 in die Klammer kommt wird diese dann auch zur -1.

\(\frac{sin(2x) - i*sinh(2y)}{(2cosh(y)^2 -1) - (2*cos(x)^2 - 1)}\)

Jetzt können wir auch noch im Nenner 2x und 2y bilden

\(\frac{sin(2x) - i*sinh(2y)}{cosh(2y) - cos(2x)}\)

Uff, fettisch. hat ganz schön Nerven gekostet.

Gruß jobe