Denk erstmal nicht in Matrizen, sondern nur in Gleichungen. Seien $x,y,z$ die Gewichte von Karl, Heinz und Frieder am Anfang der Aufgabe. Dann kannst du die Gleichung $x+y+z=335$ ablesen.
Die nächste Information ist schwieriger: Frau Lehmann kocht $30\cdot (6-1)=150$ Kilo pro Monat für ihre Söhne, und das ist die Hälfte von Karl, plus ein Drittel von Heinz plus ein Sechstel von Frieder, also $\frac12x+\frac13y+\frac16z=150$.
Die letzte Gleichung kommt von dem, was die Söhne abgenommen haben. Karls neues Gewicht ist $\frac34x$, Heinz' $\frac45y$ und Frieder's $z+10$. In Summe soll das $46$ weniger als vorher sein, also $335-46=289$. Damit erhalten wir die dritte Gleichung $\frac34x+\frac45y+z+10=289$ bzw. $\frac34x+\frac45y+z=279$.

Diese drei Gleichungen kannst du jetzt, wenn du willst, in Matrixschreibweise bringen zu $$\begin{pmatrix}1&1&1\\\frac12&\frac13&\frac16\\\frac34&\frac45&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}335\\150\\279\end{pmatrix}$$ und dann das Gleichungssystem lösen.