Vektoranalysis und Differentialformen

Aufrufe: 51     Aktiv: 29.05.2021 um 10:40

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Guten Morgen,
ich habe eine Frage zu Differentialformen und deren zusammenhang mit der klassischen Vektoranalysis.

Wenn ich das richtig verstanden haben ist grad(f)=df also eine 1 Form.
Wie kann ich Divergenz und Rotation als Differentialform schreiben?
Und vorallem:
Wie kann ich mit dem Wissen über die zugehörige Differentialform Aussagen über Divergenz/ Rotation und Gradient treffen?

Ist das Ausdrücken von div, rot und grad über Differentailformen nur ein "umschreiben" oder steckt da mehr dahinter?

Danke für die Hilfe!

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1 Antwort
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So ganz klar sind mir die Fragen nicht. Aber versuchen wir es einmal: Zuerst einmal stimmt die Gleichung mit dem Gradienten nicht. Der Gradient ist ein Vektor und df ein Skalar. Richtig ist:
\(df = (grad f \cdot d\vec{r}) =f_x dx + f_y dy + f_z dz \). Das erste ist das Skalarprodukt aus grad f und dem Differenzial des Ortsvektor \(\vec{r}\).
Meinst Du mit Differenzialform den Nabla-Operator? Grad, div und rot mittels diese Operators auszudrücken ist wirklich nur ein Umschreiben. Aber man kann damit elegant rechnen. Z.B. beweisen, dass \( rot \; grad f = \vec{0}\).
Nun eventuell noch einmal nachfragen.
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Hallo, danke für die Antwort!

Mit Differentialform meine ich eine alternierende Differentialform, wie df es ist. Wie kann ich df=grad f * dr anschaulich interpretieren?
Auf einem Übungsblatt sollten wir z.B. zeigen, dass wegen d*d(f)=0 folgt dass rot(grad f)=0 ist. Wobei d die Cartansche/äußere Ableitung bezeichnet. Ich habe noch nicht ganz verstanden wie grad/rot und div mit den Alternierenden Differentialformen zusammenhängen. Ich hoffe es ist klar was ich meine.

Danke und liebe Grüße
  ─   bothjanek 29.05.2021 um 08:43

Erstens: rot grad f ist immer der Nullvektor, wie ich oben schon erwähnt habe!
Zweitens: grad f ist ein Vektor der ein skalares Feld charakterisiert. Er steht stets auf den Niveauflächen senkrecht und zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs des Feldes. Bildet man nun das Skalarprodukt dieses Vektors mit dem Vektor dr, so projiziert man diese Vektor aus die Richtung von dr, was den Zuwachs des Feldes in diese Richtung beschreibt (Richtungsableitung).
Es wird Dir wohl nicht mehr helfen, aber im Herbst lade ich auf meinen youTube Kanal dazu Videos hoch. Vielleicht schaust Du aber einmal in mein Buch "Mathematik Klausurtrainer".
  ─   professorrs 29.05.2021 um 10:40

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