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Hallo Leute,

ich bin gerade bei folgender Aufgabe:
Gegeben zwei Mengen A und B. Zeigen oder widerlegen Sie bitte:
A B genau, dann wenn A ×A B ×B.

Ich komme nicht weiter, wäre nett wenn mir einer helfen kann oder ein Denkansatz liefert.


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Eine Äquivalenz zeigt man, indem man beide Implikationen zeigt. Also $A \subseteq B \Rightarrow A \times A \subseteq B \times B $ und $A \times A \subseteq B \times B \Rightarrow A \subseteq B$. 

Um eine Aussage zu widerlegen, reicht es, wenn man ein Gegenbeispiel findet.

Als erste Überlegung sollte man sich also klarmachen, ob die Aussage gilt oder nicht. Dazu sollte man sich einfach mal Beispiele anschauen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, was die Aussage eigentlich aussagt.
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Selbstständig, Punkte: 15.24K

 

Komme dennoch nicht weiter, könntest du ein vllt. ein Beispiel nennen?
Danke
  ─   merkur252 09.11.2021 um 23:03

Was hast du denn probiert?   ─   cauchy 09.11.2021 um 23:04

A := {1,2} B := {1,2,3}

{1,2} x {1,2} = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

{1,2,3} x {1,2,3} = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}


A x A ⊆ B x B = w
  ─   merkur252 09.11.2021 um 23:30

Gut. Wie ist das kartesische Produkt definiert? Und mit der ersten Implikation kann man so anfangen: Es sei $A \subseteq B$, das heißt für $x \in A$ folgt $x \in B$. Es sei nun $(x_1, x_2)\in A \times A$, das heißt... Zeigen musst du jetzt, dass $(x_1,x_2)\in B \times B$ gilt.   ─   cauchy 09.11.2021 um 23:39

Ich blick wirklich nicht durch, also das Kartesische Produkt definiert durch A x B := {(a,b) | aeA und beB}.
Also ich muss zuerst die Implikation aus (x1,x2)∈A×A und (x1,x2)∈B×B zeigen?
  ─   merkur252 09.11.2021 um 23:57

Die Implikationen stehen oben in der Antwort. Den Anfang für die erste hab ich gemacht. Wie geht's weiter?   ─   cauchy 10.11.2021 um 00:00

Mach dir erstmal klar, was $(x_1,x_2) \in A \times A$ bedeutet und schlussfolgere dann $(x_1,x_2)\in B \times B$. Dann hättest du die erste Richtung gezeigt.   ─   cauchy 10.11.2021 um 00:02

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