Lineare DGL 1. Ordnung

Aufrufe: 44     Aktiv: 12.02.2021 um 15:08

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Beim letzten Schritt müssten sich ja zwei Teile (die letzten Beiden vor dem =) wegkürzen, leider habe ich irgendwo einen Fehler gemacht und finde ihn nicht..
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Der Fehler ist beim Ableiten:
\((C(x)e^{4x^{-1}})' = C'(x)e^{4x^{-1}}+C(x)4\frac{-1}{x^2}e^{4x^{-1}}\)
Die innere Ableitung, d.h. die vom Exponenten war nicht richtig: \((4\,x^{-1})'=-4\,x^{-2}\).
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\(\frac{dy}{dx}=\frac{-4y}{x^2}\iff \frac{dy}{y}=\frac{-4dx}{x^2}\Rightarrow ln|y|=\frac{4}{x}+C\Rightarrow y_h =c\cdot e^{\frac{4}{x}}\)
\(y_p=c(x)\cdot e^{\frac{4}{x}}\Rightarrow y_p'=c'(x)\cdot e^{\frac{4}{x}}-\frac{4}{x^2}e^{\frac{4}{x}}\cdot c(x)=(c'(x)-\frac{4}{x^2}\cdot c(x))e^{\frac{4}{x}}\)
\(y_p'+\frac{4y_p}{x^2}=\frac{2}{x^2}\iff c'(x)\cdot e^{\frac{4}{x}}-\frac{4}{x^2}e^{\frac{4}{x}}\cdot c(x)+\frac{4c(x)\cdot e^{\frac{4}{x}}}{x^2}=\frac{2}{x^2}\iff c'(x)\cdot e^{\frac{4}{x}}=\frac{2}{x^2}\iff c'(x)=2\frac{e^{\frac{-4}{x}}}{x^2}\Rightarrow c(x)=\frac{1}{2}\cdot e^{-\frac{4}{x^2}}\)
Also \(y_p=\frac{1}{2}\cdot e^{-\frac{4}{x^2}}\cdot e^{\frac{4}{x}}\)
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