Abstand der Nullstellen bestimmen

Aufrufe: 41     Aktiv: 10.07.2021 um 18:10

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Hallo zusammen,

aktuell sitze ich an folgender Aufgabe fest:

Ich muss ehrlich sagen, bin etwas ratlos.
Zu a) unter der Aufgabenstellung versteh ich folgendens:
Die Werte für "k" finden, bei denen die beiden Nullstellen x1 & x2, 0.5x voneinander liegen.

Zu b) hier ebenfalls einen Wert für "k" finden, jedoch weiss ich nicht genau was mit "für alle x" gemeint ist.
Ich stelle mir folgendes vor, quasi eine Art Intervall für "k" bestimmen, bei welchem der y-Wert von f(x) immer grösser ist als g(x).

Gruss 
Alu

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Moin,
du hast die Aufgabe richtig verstanden, nun musst du sie nur noch lösen. Die Nullstellen von f(x) sind \(x_1\) und \(x_2\), mit \(x_k=\frac{k+-\sqrt{k^2-8}}{4}, k\ge \sqrt8 \text{ bzw. } k\le-\sqrt8\), wenn du jetzt d bestimmst erhältst du \(d=\frac{\sqrt{k^2-8}}{2} \Rightarrow k=+-3\).
Für b)musst du nur die Ungleichung nach x auflösen: \(2x^2-kx+1 > 3x-1 \Rightarrow 2x^2-(k+3)x+2 >0\). Nach Lösen für Gleichheit erhältst du als Diskriminante \(\sqrt{k^2+6k-7}\). Wenn es dafür keine reellen Lösungen gibt gilt die strikte Ungleichung, es muss also gelten \(0>k^2+6k-7\), bzw \(-7<k<1\). Damit sind beide Aufgaben gelöst. 
LG 
Fix
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Zu (a): Bestimme die Nullstellen \(x_1,x_2\) von \(f\) in Abhängigkeit von \(k\). Löse danach \(|x_1-x_2|=\frac1 2\) nach \(k\) auf. Zu (b): Es ist gemeint, alle \(k\) zu bestimmen, für die der Graph von \(f\) über dem Graphen von \(g\) liegt, also das, was du auch vermutest.
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