Gleichung umformen

Aufrufe: 805     Aktiv: 02.07.2020 um 16:22
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Hallo ich mache grade eine vollständige Induktion und komme beim umformen nicht weiter.. also die Gleichung wäre: \(\frac {1} {6} n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2\)

und es muss so umgeformt werden das steht:  \( \frac {1} {6} (n+1)(n+2)(2n+3)\)

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Wenn du einfach nur Gleichheit zeigen musst, würde ich bei beiden Ausdrücken \((n+1)\) ausklammern, und den Rest einfach ausmultiplizieren.
   ─   posix 02.07.2020 um 15:53
Alternativ könntest du auch die erste Gleichung zu \(\frac{1}{6}(n+1)(n(2n+1) + 6(n +1))\) umformen, und die Nullstellen des quadratischen Polynoms \(n(2n+1) + 6(n +1) = 2n^2 + 7n + 6\) ausrechnen, und das obere Polynom in Nullstellenform bringen.
(Ergebnis: \(n_{1,2} = -\frac{7}{4} \pm \frac{1}{4}\) also \(n_1 = -\frac{3}{2}, \ n_2 = -2\), das führt zu den Faktoren \((n+2)\) und \((n + \frac{3}{2})\) bzw. \((2n + 3)\).   ─   posix 02.07.2020 um 15:56
Erstmal danke für die Antwort, kurze Frage wie bist du auf die erste Gleichung von dir gekommen ?   ─   danny96 02.07.2020 um 16:01
Ich habe \(n+1\) ausgeklammert.   ─   posix 02.07.2020 um 16:03
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Da gibt es sicherlich mehrere Möglichkeiten, du könntest beispielsweise bei beiden Ausdrücken ausklammern, und den Rest einfach ausmultiplizieren.

Alternativ könntest du auch die erste Gleichung zu \(\frac{1}{6}(n+1)(n(2n+1) + 6(n +1))\) umformen, und die Nullstellen des quadratischen Polynoms \(n(2n+1) + 6(n +1) = 2n^2 + 7n + 6\) ausrechnen, und das obere Polynom in Nullstellenform bringen.
(Ergebnis: \(n_{1,2} = -\frac{7}{4} \pm \frac{1}{4}\) also \(n_1 = -\frac{3}{2}, \ n_2 = -2\), das führt zu den Faktoren \((n+2)\) und \((n + \frac{3}{2})\) bzw. \((2n + 3)\).

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ich komme halt immer noch nicht drauf wie du das hier umgeformt hast: \(\frac {1} {6} (n+1)(n(2n+1) + 6(n+1)) \)
   ─   danny96 02.07.2020 um 16:22

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