Hallo,

wenn du das x im Zähler ausklammerst, erhältst du \(\dfrac{e^x\cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4}=\dfrac{e^x\cdot x(x-2)}{x^4}\). Wenn du jetzt durch x dividierst, erhältst du \(\dfrac{e^x\cdot (x-2)}{x^3}\).

Hallo,

mit der Quotientenregel bist du schon auf dem richtigen Weg.

Durch Einsetzen erhalten wir \(\dfrac{e^x\cdot x^2 - e^x\cdot 2x}{x^4}\).

Dies ließe sich noch zu \(\dfrac{e^x(x-2)}{x^3}\) vereinfachen.

Hallo maccheroni_konstante.

Dann lag ich doch nicht so falsch. Exakt das Ergebnis steht auch als Lösung. Ich denke, ich habe einfach ein Problem mit dem vereinfachen.
Warum wird aus der \( x^{4} \) eine \( x^{3} \)

Ich steh da total auf dem Schlauch. 

Jetzt macht es langsam klick. 

Eine Sache verstehe ich noch nicht ganz.
Bei der Quotientenregel wird der Nenner normalerweise nicht quadriert. Ist das bei der e-Funktion einfach anders?

Da bringst du glaube ich etwas durcheinander. Bei der Quotientenregel wird der Nenner immer quadriert.

Es gilt: \(f(x):=\dfrac{u(x)}{v(x)} \rightarrow f'(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}\).

Hier also mit \(v(x):=x^2\) ergibt \(v^2(x)=\left ( x^2\right )^2=x^{2\cdot 2}=x^4\).

Vielleicht erkennst Du jetzt mein Problem...
Überall wo ich nachlese oder auf youtube mir Videos anschaue, wird der Nenner nicht berechnet. 

Es bleibt einfach hoch 2 und fertig.

Also z.B. in dem Video von Daniel ( https://youtu.be/EuaMLg_-MTA  ) wird sie berücksichtigt. 

Vielleicht wird sie nicht unterschlagen, sondern nur mitverpackt, sodass sie nicht einzeln behandelt wird?
Schicke doch sonst mal ein Beispiel.

Also so wie in dem Video, so mach ich das auch.

Daher wundert es ich, dass b i der Rechnung der Nenner komplett berechnet wird. Ich habe das immer unberüht gelassen. Also sprich \( (x^{2})^{2} \) .

Das kannst du auch machen, ist auch richtig. Nur bringt vereinfachen manchmal etwas, wenn man z.B. die Nullstellen berechnen muss.

Denn diese lassen sich aus \(e^x \cdot (x-2)\) leichter berechnen (\(x_0=2\)), als aus \(e^x\cdot x^2 - e^x \cdot 2x\).  (Gut in diesem Fall noch immer absehbar).